Skip to main content

Full text of "Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae"

See other formats


Google 



This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scanncd by Googlc as part of a projcct 

to make the world's books discoverablc onlinc. 

It has survived long enough for the copyright to cxpirc and thc book to cntcr thc public domain. A public domain book is one that was never subjcct 

to copyright or whose legal copyright term has expircd. Whcthcr a book is in thc public domain may vary country to country. Public domain books 

are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discovcr. 

Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this flle - a reminder of this book's long journcy from thc 

publishcr to a library and fmally to you. 

Usage guidelines 

Googlc is proud to partncr with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to thc 
public and wc arc mcrcly thcir custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing tliis resource, we liave taken stcps to 
prcvcnt abusc by commcrcial partics, including placing lcchnical rcstrictions on automatcd qucrying. 
Wc also ask that you: 

+ Make non-commercial use ofthefiles Wc dcsigncd Googlc Book Scarch for usc by individuals, and wc rcqucst that you usc thcsc filcs for 
personal, non-commercial purposes. 

+ Refrainfivm automated querying Do nol send aulomatcd qucrics of any sort to Googlc's systcm: If you arc conducting rcscarch on machinc 
translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of tcxt is hclpful, plcasc contact us. Wc cncouragc thc 
use of public domain materials for these purposes and may be able to help. 

+ Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each flle is essential for informingpcoplcabout thisprojcct and hclping thcm lind 
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. 

+ Keep it legal Whatcvcr your usc, rcmember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just 
bccausc wc bclicvc a book is in thc public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other 
countrics. Whcthcr a book is still in copyright varies from country to country, and wc can'l offer guidance on whether any speciflc usc of 
any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearancc in Googlc Book Scarch mcans it can bc uscd in any manncr 
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe. 

About Google Book Search 

Googlc's mission is to organizc thc world's information and to makc it univcrsally acccssiblc and uscful. Googlc Book Scarch hclps rcadcrs 
discovcr thc world's books whilc hclping authors and publishcrs rcach ncw audicnccs. You can scarch through thc full icxi of ihis book on thc wcb 

at |http://books.qooqle.com/| 




UNIVERSITEITSBIBLIOTHEEK GENT 






900000066936 




COMBINATIONIS OBSERVATIONUM 

ERRORIBUS MINIMIS OBNOXIAE 

AOCTOBE 

CAROLO rRIDERICO GAITSS 

«nOlNlS CVELrnORUM ATOKE OBDINIS daNNEBBOG E^mTE t BRITANNtAROM 
HANNOVERAEOITE KEGI A CONSILIIS AULAE, «ESERVATORII HECH GOTTINGENSU 
niBECTORE , A9TBON0MIAE IN WNIVEBSITATE GOTTINCEKSI rROFESSORE , SOCIE- 
TATUM - BEGIARVM GOTTINCENSIS , LONDtNENSIS , EDINBUBCE^SIS , HAVHIENSIS , 
ArADCMlAHUM KEGIAHUM SEROLINENSIS , fARISINAE , NEAPOLITANAE, HOLMIENSU, 
MONACHIENSU, S0CIETATI8 ITALICAE, CL'BONEN)!lS , .ASTRONOMICAE XONI)INENSIS> 
' ACADEMIAE AMERICANAE ALIARUMQVE £0CI0. 



G O T T I N <yA E 



AFUD UENKICUAI SIETSRIC£ 



»823. 







,.^ 



f ••• ' H 



T H E O IV I A 

COMBINATIONIS OBSERVATIONUM 

ERRORIBUS MINIMIS OBNOXIAE. 

A V C-T O S B 

CAROLO FRIDERICO GAUSS. 



■ P A R S P R I O R. 
SOaETATI REGIAE EXHIBITA FEBR. 15. iS»< 



Ou 



/uantacunqtie cura infiituantur obferuationes , rerum natura- 
lium magnitudiaem fpeGtniite», Cemper tameo «rroribu» maioribue 
minorifajuu* ofa—-»»i«tf ir uu ii>. nt. . s um t ^ ' obreTuationum plerum» 
que non fun^ nmplices, Sed fi ]}luribus fpntibus limul originettt 
trahunt: horum fontium.llufls fp4fies,.probe diOingoere oportet. 
Quaedam crrorum cauflTao ita fupt comparataa, Tt ipfarum ef- 
fectus in qualibet obferuationa a circumftantiis Tariabilibns pen- 
deat, inter quay et ipfam obreruationem nullus nexus elTentialis 
concipitur: erroret hinc oriundi irregutares feu fortuiti Tocantur, 
quatenusque illae <^rcumfiantiafl calculo fubiid oequeupt, idem 
etiam de «rroribus ipfis valet. Tales funt «rrores ab imper- 
fectione fenfuum proueniences , n^c noa a cauQi| extraneis irre- 
gularibos, e. g. a motu uemulo aeris vifum tanlillum tuibante; 
plura quoque «tia inftrudientoram vel optimorum huc trafaenda 
funt, e. g. afperitaa partis interioris libellularum, tlefectus Grini- 



^* * 



•fw 



.-^., 



«"; 



CAROL. FRIDERia GAUSS 



• •».* 



Mti$ abfolutae etc. Contra aliae errorum caulTae in omnibus 
obferuationibus ad idem genus relatis natura fua effectum vel 
abfolute confiantem cxferunt, vel faltem talem, cuiue magnitudo 
fecundum legem determinaum vnice a eircui^fiantiis , quae tam- 
9uam eirentiaUler cum obferualione nexae fpectantur,- pendet. 
Huiui^odi errores conTtantes feu rfegvlarea appellantur, 

CctCFuni perrpictium cft, hanc iiiTtincti|onem qo0daniinoao 
relatiuam elte^ et a fenfu latiori rel arctiori, quo noiio obrer- 
Tdtionum ad idem genus p^rtinentium accipitur, pendere* E. g. 
vitia irregularia in diuifione inftnimentairum ad angulos ^enftt- 
randos errorem conftantem producunt, quoties tantummodo de 
obferuatione anguti determinati ^ndefinite repetenda fermo e/t 
iiquidem hic femper eaedem diuifiones vitiofae adhibentur: cdn* 
tra error ei illo fonte oriundus tamquam fortuitua fpectari 
poteft, quotiea indefinitc de angulia cuiusuis magnitudinis men- 
furandia agitur, fiquidcm tabuU quantitatem erroria in lingulia 
diuifionibua ezhibens non adeit 



ft. 



Erroram regularium coniia«rffiio proprie ai> iMt£i:t^^^ w*€^tt 
excludxtur. Scilicet obferuatdris cft, omnes cauITaa, quae erro- 
res conltantes producere valent, fed^To inucAigare, et vel amo« 
vere. vel fallem earum rationem et niagnitudinem fummo ftudio 
perfcrntari, vt effectus in quatiis obFeruatidne determinata as- 
fignati, adeoqne haec ab illo IiRernri poffit, qfao pacto res eo- 
dcm redity ac fi error omnino toon afftiiffet. Longe vero diuerf^ 
cft relio errorum irregularium , qut natura fua calculo fubiici 
nequeuht. Hos itaque ^n obfcrtiatidnibus quidem tolerare fed 
eorum effcctum in quantiiates cx ohferuationibus deriuandas pcr 
fcitam harum combinatlanem quantutn fieri potciR extenuare 
oportet. Cui argumento grauiflimo fequentcs diaquifitioncs di- 
catae funt. 



_**._ ^i*: 



Er *s, 






THEORIA COMBIN". 09SERV. ERSORIBUS MINIU; OBNOXIAE. ^ 

...... 3- ' I 

XxTOM6 obreraattoiKim ad idem genus {lertiAeutuun , qa| 
a caiitira^fimplici ■detexmiaaia^.oriiuitur, per rei naturam certi» 
KmitUfus funt circumfcripti , quos IiDe dtibio execee aflSgnace U^ 
ceret, ii indoles ipHus cauiTae peauus eflet perfpecta* Fleraeque 
error^m . fortuiiorum cauiTae ita funt comparatae , vt fecundum 
legem coniinuitalis omnes errores intra iftos limites comprehenil 
pro poflibilibus' haberi debeant« perfebtaque cauflae cbghitio*' 
etiam doceret, vtrum omnes hi errores aequali facilitiiite gau^ 
deant an inaequair, et quanta probabilitas relatiua, in cafu po. 
fteriori,, cuiuis errori tribuenda lit. Eadem etlam refpectu erro^ 
ris totalis, e pluribus erroribus fimplicibus conflati, valebunC; 
puta inclufus erit ceriis limitibus, (quorum alter aequalia erit 
aggregato omnium limitum fuperiorum partialium, alter aggre-' 
gato omnium limitum inferiorum); omnes errores intra hbs U- 
mites poflibiles quidem erunt/ fed prcut quisque infinitis modie 
diu^rlis ex erroribiis partialibus componl potelt, qui ipfl magis 
minusue probabiles funt , alii maiorem , alii minorem facilitatem 
tiribuere debebimuSf eruique poterit lex probabilitatis relatiuaep 

fl lefiea errMum fimpndum Tst> g m ^ nc ftipponuntur, faluis difficol* 

^ . » • . ^ _ 

tatibus analyticis in colljgendis omnibus combinationibut. ' ' 

Exllant vttque quaedam errorum cauflae , quae errords 'non 
fecundum legem continuitatis progredientes, fed discretos tantumt^ 
producere poffunt, quales funt errorea diuiflonts inltrumentorum. 
(fiquidem iilos erroribus' fortuitis annumerare placet): diuifiota^ 
enim multitudo in j^uoiifsinltrmnento deternlinato efi fiaita.* Mft*i / 
nifefto autem, hoc non obftant'e, fi modo non omnee «rrornln 
cauffae errores discretos prodncant, complexue omnium errorum 
totalinm poffibilium conlBtuet fiiriem fecundum ligem cOotinui^* 
tatis progredientem , fiue pluret eiusmodi feries interruptasv &f 
forte» omnibui erroribus. discreftis poHibilibus fobundum mAMi- 
tudinem ordinatis^ vna alteraue differentia inter binos termiiiof 

A a 



\ 



\ 



:> ' 



:> 



4. -CAROL. FRIDERIC. GAUSS ' 

proximos maior «oadat, quam differentia inter limites errorufli 
toialiMm» quatenus 6 folis erroiibua coi^thiiiis dcmanant. Se^ 
jo praica cafus polieriov vix vmqium l«cum faababit, niil' diuHio 
Titiis crailioiibus laboret. 

4- 
DefignaDJo facilitatem relatitiam erroris totalis x, in detep- 
^inato obreruationum genere, per . cbaracterilticam fflx, hoc, 
propter «n-arum continnitatem, iia intelligendum erit, probabi- 
litatem erroris inter limite» inBnite proximps xet a; -4- dx elTe = 
^x.dx. Vix, ac ne yix quidem , Tniqoam in praxi pofGbile 
eijit, hanc functionem a priori aflignare: nihiJominus pltira gc- 
nerfilia eam fjpeciantia, Itabiliri poflunt, qiiae ,deinceps profere- 
iDus. Obuiiim efi, fimctionem ^x eatenus ad functiones discon- 
tinuas referendam eiTe, quod pro omnibiis valoribus ip(ius x, 
^KV» .limite». errorum poflibiJinm iacentibus efle debet =0; intra 
^ps limiteB vero vbique valorem pofiiiuum nanciscetur (omit- 
tefi,do cafum, do quo in fine art. praec. loculi fumus).- In ple* 
ri^que calibu^ errores poIitiuos'et negatiiios eiusdem maguitudinis 
aeqi^ facilea fupponere licebit, quo pacto erit (p (— x) = ^ x. 
rorco qimm errores leiiiores facilius conimittantur quam gra. 
vtotps, plerumqtie valor iplius px erit maximus pro x= o, coD- 
tipuoque decrefcet, dum x augetur. . 

Generaliter' autem vsIojt. i«tegralis/^«.d3&, ab x=a Tsqiw 
«1 3) = &, fixtenii exprim^ .p^f)b^bi)jt«t«o», , q^o^ error aliquis 
aiin^un) cogpitus iaceat- intcf .limiAes;^ «t ^r 'V«{|or, itaqi^e iltiu^ 
integxali^ -a liniiLf inEecipri ^DntqtnagL «rmirum itoiribilium v^que 
nA :ltmiteB4 ^eriorem exilepri;f«i)}p«-, erjt ^ », £t quum ^x 
prp Amfi^u» «f;I wibus ipfiuf x exts^ , bos J^tniie» iac^tibuA fem^ 
ptr fit ^ p^ manifeito eiiao) , - ■ .. 
•t^tor iaiee'atiMjipx..dx ab h='^ t^mtjut ad «=4-00 t» 



?•>»> 



THCORIA COMBIN. OBSERV. ERRORIBUS IIINIM. OBNOXIAE* 5 

. Confideremua potro integrale fx^x. Ax in ter eos^em limi» 
4e»» culti» valareai jEtftli^emus — A. Si omnee errorum caulTae fim» 
plicfs ita funt comparatae^ vt nulia adlU ratio^ cur errorunl 

^eiequalium fed fignia oppoiiiia affoctorum < aiier faeilius produeo* 
tjur quamaUer, hoo eliam refpectu erroris totalis valebit^ liile 
«erit ^(-— x)zr^x« et proin neceflario Azzo. Binc cotUgimue» 
jguoiles A non euanefcat fed e.g. iil qnanlitas pi^tiua^ necefFa» 
Tio ftdefle . debere vnam alteramue errorum cauflfam, qiiae v.el 
error.es po£tiuos tantum producere poHit^ vel certis pofitiuos fa» 
eiUus qpam negatiuos» Haecce qaantitas k^ quae reuera elt me» 
iAium ommum * errorum poffihitiugBi » feu valpr medius ipfkis X]^ 
commode dici poleit errorie pars conltans» Cererum. faeile pvo« 
hari poielt» partein conltantem erroris totalis atqctateai effe ag* 
gre§;ato partium confiantium» qiias continent 'erroires ^ lirigulis 
eauIBs fioApiicibiis prodeuntes. Quodli quantitas h nota fuppool** 
Suft a quauis obferuatione.tefeaiLur^ errorqne oMeruaeionis itar 
correctae. defignatur per x^ ipfiusqoe probabilitas per ^'x\ erit 

. «'=» — A, ^'x'^ $« aoproin /x' ^'x^ dx'=r/x^x . d » — /A ^x. Am 
sA^^Aso^' i^ ^ crrores o^r#MMittonam correciarum partem iQpi!^ 
Itantem non hatfebunl» quod et perfe €}aromfe£t* . t : 



' * 



* *'**^ 






FeiMde vt integra.Ie /x^x.dx^^feu valer medius 'ipfiiiS^OEi 
ernnris cemfiantia eei «ableniianiL vel f ravfeMiam et TnegBitiidi» 



1 if) 



.'.;' ri.e. 



V 1 



I I • . • ' 



aem dojcet» isiiegri 

, ../««^«..dx 
«bxri— o^ viqtte.ffd x:^^oo extciifuio (fett vsiler medius qifa^ 
ihratiixx) apiifliaium yicletur ad IpcesliiiMliaeiii obfereaiioMim in 
§ei<efe defiaitndam ^l ^dimetien^amr ite.ait efr itiieili^^ ohAtfiiii^ 
tiottom fyltemMihi)s^. quae* qttoaderrofiim lacilMacein iatee'^ 
dfiffetatttv eae .prafciCLone preeffaft cenfeanttir^ inc quihus fHfa- 



w 



^ 



5 CARaL.irRlP.E8ia bausji 

gtalefxx^x.dx valorem minorem obdnet. Qaodfi qub hanc 
radoneni pro arbltrio, nulla cogente neceflkate^ electam eflfe 
obliciatf lubenter afleniiemur/ Quippe quaeftio haec per rei n«- 
turam aliquid vagi^ implioat, quod limitibus clrcumfcrtbi nifi 
per priocipium aliquatenua arbitrarium nequit. Detefminati» 
alicuiua qiianiitalis pcr cbfer^ationem errorr nnifori minortue 
obnoxiamt baud inepte coniparaiur iudo^ in quo folae iaciuraep 
locra- nulla, d«m quilibet error metuendua iaclurae affinis e^ 
Talis ludi dispendium aoBimatur e iactora prohabUiy pula tx 
aggregato productorum iingularum iacturarum pofribiliuia ip prci» 
babilitates refpeciiuas. Quantae vexo iacturae quem]ibet obferoa^ 
ttoQia errorem. aequiparare cpnueniat^ neutiquam per fe clarum 
eft; quin potius haec determiaatio aliqua ex parte ab arbitrio 
noltro peiidei. lacturam ipfi errori aeqxfaleni fiatuere manifefto 
non licet; & enim errores pofitiuipro iacturis accipereniur, ne* 
gatiui lucra repraefentare deberent. Magmtudo itfcturae potiut 
per ialem . erroriis fuDciionem exprimi debet, quae naiiura fua 
femper 6t pofitiua. Qualium functionum quum varietas fit ia» 
fittita^ llmplicifQma , quae hac proprietate gaudet, prae ceteris 
eligeada videturi quae 4»i»«<|«»« lUm «A ^«&*4r«te«iu •- koe pacto prin* 
cipium fupra prolatum 



111. Laplace fimili quidem Inodo rem confiderauit, fed er- 
forem ipfum femper pofitiue acceptum camquam iactttrae' men* 
(ucam edoptauit. .'JU hi £allimur haecce tatio faltem non minas 
arbitraria efi quam nofira : vtrum e^im error dupieic aeque tolat 
rabilis.putetur quam fimplex bis repetit us, an aegriusi et proin 
irtrom magis coiiuentat^ errori duplici momentom duplex taa^ 
tumi en maiusg tribuere, quaefiio eft neque per fe dara, neqne 
demonitralMmbus matliematicia decideodav f^ libero tanttmi 
aarbitrtp nemilteada. . Praeterea oegari nonrpoteftt ifia ratioiie 
coatiauitatem laedi: et propter hanc ipfam catiflam modua ille 



, / 



TBP.ORIA COMBIK. OBSERV. ERROKIBUS HINIBir» OBNOXIAE. 7 

tractatioDi analyticae magia refiragatur, liiim ea, bA quae 
prinefpiuip noftrum perdndty mira tnm JQmplicitate tum gene*« 
ralitate commendantinr» 



Statuendo ▼aTorem inte^r:i]is jxx(pm.Sx ab xrr"— oo vs* 
que ad xr^-f-oo extenH znmm^ quantitatem 7/1 vocabiiiiua f?ro^ 
fem ffiedhan metuenduin^ fiue lixnpliciler errorem medium ot>rer« 

vationum , quarum errores indefiniti x habent probabilitateu^ re- 

* 

latiuam ^x: Denominationem illam non ad obferuationes im* 
mediatas Ilmitabimus, fed eiiam bA determinationes qualescun*-^ 
que ex obferuationibus deriuatas extendemus. Probe autem ca^ 
▼eifdum eft, ne crrM medius confondatur cum medio aritbnie- 
tico omnism errorumt de quo in art, 5. loouti fumus. 

Vbi plura obferQationum genera, feu plures determinatrones 
fx obferuationibus petitae» quibus haiMl eadem praecifio conca» 
denda eft, comparantur» pondM earum relatiuum nobis erit quan* 
tita)i ipfi 7nm reciproce^proporlionalis, dum praecijio fimpliciter 
ipfi m reciproce proportionalis babetur. Quo igitur pondns per 
nuniMmn exprfmi poflit, pontfus csrti obferuationuni generis pro 
Tmtate acceptum efle debeL 



Si obreruatlonom errofes paitem ronftrateiD impKcant, Iianc 

anferendo enor medius minuiiar, pondns et pvaecifio augentur* 

Betinendo figna art. 5, defignandoque per m' eirorem medinm 

•bfefottiointtm cosrectarum, erit 

. ** in.ni =/x'x'$'x' . d x' = /(x -^ A) ' ^ d x =/xx^x . dx 

— aA/x9x.dx+*A/^x.dx==i»im--aAA+iA=wi?ii— JWk y 
Si autem loca partis craitat^tis veri A qvaiuitas alia I ab obfer- 
tratiombtis ftblaia efiet, quadratom ertoris medii noui euaderet 
= mw--AA/ +l/=:m'w'+(Nft)«. 



Il 



\ 



'T^ 



8 



CAROL. FRIDERIC. flAUSS 



D«notaiite.>. ^ollHolentem 4eterimnauun , atque /» velorem 
integralis/^x/d» ab x = — Xm vsque «d «=: + X>«, erit ^ 
probaVilitas, quod error alicuius obfe^uationis fit tnioor quam 
Xm (finerefpeau fignl)» nec non i-ft probabilltas errori» niaio- 
ris quam Xm. Si ilaque vfAot fxzz^ refpondet valori Xm=p, 
error aeque facile iDfra g quam fupra § cadere pbteft, quocirca o 
commode did poteft error probabUis. Relatio quanUtatum X, ft 
mamferto pendet ab indole functionis ^«, qnne pler^mgue in- 
cognita eft. Operae itaque pretium erit, ifiam relationem pro 
quibu«dam cafibua- fpecialibus propius confiderare. 

I. Si limites omnium enronun poffibilium fdnt — a et -4-11^ 
oitonesque crrores intra hos limites aeque probabiies^ erit ^x 

iotcr limitea a:=— a et « =r + o confiane. et proin = —. Hinc 



^==^V^f f «cc fion /^ = ^.v^|, ^uamdiu X noh maior quam i^5; 
^enique iJ=mV^^=:o,8€€oa64m, frObabililasque, quod error pro* 
deat erroro medio non maior, crit =V^| = 0,5773503. '. 

II» vSi -vt antea --^ «t -f- o, funt •crrorum ponnbilium limi- 
tes» errorumque ipforum probabilitas inde ab errore o vtrimque 
in progretfione aritimietica decrefcere fupponitur, erit 

ILxzz. ^ pro valorlbus iplius x inter o et 4-a 

^x = T, pro valoribuf ipfius x inter o et — o, 

• •• !• 

Hinc deducitur m = ^V"i, /u-Xv^f — JXX., quamdiu X €^ inUie 
o ct 1^6, denique >^=>^6— v^(6— «/1), ^uamdiu /* inter ^ 
€t i , et proia . 

^ = m(V6 — V3)=«t7t74389«» 
Frobabilitas erroris medium non fuperantis erit tn hoc cafa 

= ^ I ~ ^ = o,6498«9». 

III; 



s.< 



^. 



THEORIA COMBIN. OBSERV; ERRORIBUS MINIM. OBNOXIAE. ,9 



XX 



III. Si functionfeni ^x proportionalem ftatuimus fauic e hh 
(quod quidem iu rerum natura proxime tantum yerum efle 
poieit)i efle debebii - 

XX 

e 

denotante it Temiperipheriam circnli pro raclio i , mde .porro 
deducimus 

(V. Disquif. generaUs drca fmtminfinUam^c.'^t.^%.). Porro 
fi yalor integralis ' ^F * 

— A ^* 

a z=ro incboati denotatur f er ©z, crit 

Tabula Tequen^ exfaibet aliquo t talores ' hnidi ^uentikiatit : 



1« • \ 



♦ i 



Op6744897 
0,84 0213 

I.QOOOOO* 

1,0364334 

1.2813517 

1.6448537 
2,5758293 
3.29 1830 1 



0.5 
0,6 

^•7 , 
oj8 

0,9 

0,99 

0.999 



>890^?/ Lf 99» 



xo^ 



Qiianquam relatio inter >, et /4 «b inddefunctioiii^^^gc.peii* 
dct, tamen quaedam generalia ftabiiire licet. Scilicct qualiscunque 
lit haec functio, fi modo ita elt comparata, Vt ipfius .valor, cre* 
feente Talore abfpluttr ipfioe. «, jTempeiii.decreCcat^ tcI Caltem noa 
crefcat , c«rto erit 



B 



rifc ^i 



lO . CAIIOL. FRIDERIC. GAUSS 

X minor vel faltem non maior q^uam /i V^ 3 , quoties /d e A 
minor quam f ; ^ 

X non maior quam ■ ■ ^^. ^ — r, quotiea ju cft maibr quam-l 

Pro /i=:f vterque limes coincidit, puta K nequit eSe maior 

quam V|. . ^ 

- ytihojc iuAgne tbeorema demoiiftremuat denotemus per y 
Talorem Jntegralis f^ z.dzazrr — x vsque ad zzz-^x extenfi, 
quo pacto y erit probabilitas, quod error aliquis contentus fit 
intra limites. «t^.x ct +x. Pprro itati^p;ius , 

Erit itaque 'vpo = o, nec non 



quare pcr hyp. yj/y ab y=:o vsque adysri femper crercel» 
faltem nijilUbi dcQf^ijc^ty A^^,. q^iod idesn eR^ valar ipRu$ %P''y 
femper erit pofitiuus, vel faltem non negatiuus. Porro habemus 
d.y \l/ y=:^yl/ y^ dy -jr y yl/'' y .A y fSiieoqxie 

yvl^V — \f/y=/y4/"y.dy 

integratione ab y=:o incfaoat«. V^aior expTerGon^u k^^^y^^y 
itaque /emper erit quanlitas pofitiua, falt^m non negatiua, adeoquc 

y-^/y 
qvantitas pofitiua vnitate minor. Sit / ciiis^valor^pro y::^/jif i. c 
quum habeatur %|/f«=:Xm, fit 

r A.m Xm 

His iira praeparatis, confideretnus fbnctTonem iplius ^r hane 

quam fi atuemus r: Fy , ncc . non d Fy sr P' y* • <l y . Perfpicuum 
eft fieri 



THEORIA COMBIN. OWJSRV. JgJRRORIBUS MINIJW. OBNOXIAE. jj 

Quare quum -^^ly^ aucta ipfa y^ -continuo crefcat (faltem non de- 
crefcat, qued feniper fubiDtelligeDduixi), fy vero conltans Iit^ 

differentia -vl/y— i^yzr =^3 -^ — erit pofitiua pro * Taloribn^ 

j 
iplius y maioribus quam ^, negatiua pro minoribus. Hinc 

faciie colligitur, '^y — Fy femper efle quantitatem pofttiuam, 

adeoque '^y femper erit abfolute maior, faltem non minor^ quam 

Fy, certe quamdiu yalor ipfius Fy efi pofitiuus, i. e. ab y^-fif 

vsque ad y—\. Hinc valor integralisy(Fy )*d y ab yzifxf v%^ 

que ad y=t erit minor valore integralis f(sl/y)^dy inter eos- 

dem limiteSp adeoque a potiori i)iinor valore huius inttgralis ab 

y=o vsque ad y= i, qui fit zzmm* At valor iatagralia ptioris 

inuenitur 

_ XXmm('i — /ify 

vnda colligimusi W eSe mmorem qnam - _ — /l^ > 



vbi 



/ 



eft quantitas mceroet t iacens. lam Talor firactionis , j* — 

cttius cli£Ferentiale, fi =/ tamquam qua&titas ~ variabilis confide' 
ratur, fit=: 

cohtinno decrefcit, dum / a valore' o vsque ad valorem t tranlit, 
quoties /1 minor elt quam |, adeoque -valor maximus pofllibilia 
erit is qui valori /=o refpondet, puta r=5/bc/Lc', ita vt in hoc 
cafu X certo^ fiat minor yal nqn maior quam ft V^ 3« O E. P. Con- 

tra quoties /x maior eit quam |, valor iltius fractionis erit maxi* 

. g • • 
mus pro a— 5^4-^/— o, i. e. pro/=:3 , vnde ille fit 

B • 



/ 



K 



■..<*•• .b^ w. •. <u« - 



la 



CAROt- rRIDERIC. GAUSS 



— Z adeoque in hoc cafu X non maior quam 'TTT} ;• ^ 

9(1 — fc) 3Y ^i lA) 

g. E. s. 

Ita €. g. pro /i — i certo X nequit cffe maior quam V^, 
i. e. error probabilU fupcrare nequit limitcm 018,660954^'^ 9 ^ui 
in cxemplo primo art. q. aequalis iQuentus eft. Porro facile c 
theoremate noftro concluditur, /x non cffe minorem quam XVft 
auamdiu X minor lit quam V |, contra fx hon effe minorem quam 

^__i— ^ pro valore ipfius X maiori quam Vf* 
9XX 

I !♦ 

Quum plura problcmau infra tractanda ctiam cum valorc 
nitegralis/«*^«'dx nexa fiot,* operae pretium erit, eum pro qui- 
Imsdam cafibua 'fpccialibud cuQluere. Denotabinius valorem hu- 
iua integralis ab x=:— «© vsque ad x=:+ co extenfi per n*. 

I. Pro (Px=: — » quatenusDC inler — a ct 4*^ continctur, 



aa 



habemu» n* =$«*=« m*i 

II. In cafu fccundo art. 6, vbi (px=: 

ipfius X intcr o ct is=fl, fit n^:::z^a^z::\^m\ 

III, In cafu tertio vbi 



aa 



pro yaloribvs 



X9 

hh 



» f 



iimeiiitur per «•., quae in cemmentaOoiie fa|»r«! ^jilata «xpdnim- 
tur, n* = |M=3m'». 

Ceterum ciemonitrari poieft, valorem ipfins - -^ * certo non 

• ' ' ' ' ' ^ ' ' ' ' - 

e0e minorem quam |, fi modo fuppofiUo art. praec locum 
Kabeat. 






J 




•k 



THEORIA COMBIN. OBSERV. ERR0RI6US MINIM. OBNOXIAE. 13 

12« 

Denotandbus x, x f a^^etc. indefinite errores obseruationnm 
eiuselem generis ab inuicem independentes» quorum probabili- 
tates relatiuas exprimit praefixa charactenstica (D} nec' non y 
functionem datam rationalem indeterminatarum x^ x\ x* etc. t 
integrale multiplex (I) 

J<px.(px, ^"x. • . . • dx. dx'. d T^ . . . . 
extenfum per omnes valores indeterminatarum x, x\ x\ pra 
quibus yalor ipfius y cadit intra limites datos o et if, exprimet 
probabilitatem Tdloris ipfius y indefinite intra o et i^ fiti. Mani* 
fefio hoc integrale erit functio ipfius 9f» cuius difFerentiale ftatue» 
mus =\|/9|.dif9 ita vt integrale iprum fiat aequale integrali 
f^^^V^^V fib >jrro incepto. Hoc pacto finiul characteriltica \|/ij 
probabilitatem relaliuam cuiusuis, valoris ipfius y exprimere cen* 
fenda elt. Quum x confiderari polTit tamquam Tunctio indetet- 
minatarum y^ x^, x" etc, quam itatuemus 

=f(y.^\x\...) 

integrale (I) fiet 

=j(p.f{y^x,x .•..). , ■ «^x.^x ..«.dy.ax.dx .... 

vbi y extendi debet ab y=o vsque ad y=iy, indeterminatae re* 
liquae vero per omnes valores » quibus refpondet valor realis ipfitts 
/iy* ^f ^'* • • ')• Hinc coUigitur 

dx • dx • . . • 
integratione, in qua y tamquam conltans confiderari debet, ex- 
tenfa per omnes valores indeterminatarum x', x" etc. , qui ipfi 
fiy^x^x*.».) valorem realem conciliant. 

Ad hanc inte^rafionem reipfa exlequendam cognitio functio- 
nis 9 rtquireretur, quae plcrumque incognita ^Ri quinadeo, 



/ 



j 



14 CABOJ.. FRIDERJC. CAUSS . . 

etiamd haep functio cognita elTet^ in plerisque cafibus integratio 
vires analyfeos fuperaret* Quae ^uuqi iia, /int^ probabilitatem 
quidem fingulbrum valprum ipGus y alTignare non ppterimus; at 
fecu3 res fe habebit, fi tantummodo defidera.tur yalor medius 
ipfius y, qui pritiif^ex integrationey"y 'v^y , dy per omnea valo^ 
res ipfius y, quos quidem alTequi potelt, e^tenfa. Et quum ma- 
nifefto pro omnibus yaloribus» quQS y aflfequi nequit, vel per 
natiiram functionis quam .exprimit (e. g. pro nejgatiuis, Gl effet 
yzzxx-^-oc^jc -^r^' ^" "^ €*c.), vel idjep quod errotibus iplis x,x\x 
^c certi limitea funt pofiti, itatuere pporteat ^^y :::io^ manifeito res 
perinde Jb habebitt li integrati^o illa extendatur per omnea valo* 
res reales ipfiua y, puta ab yzz — oo vsque ad yrr^-oo. lam 
integrale yy >// y • d y ioter limitfs determinMos, putaabyrzij Vt* 
que ad y^ii fumtum aequale eA integrali 

d/(y, x \x\ . . .) 

r 

iotegrationcf extenfa ab yzrjf vaque ad y^fft atque per omne» 
valores indeterminatarum x\ x etc. quibus refpondet valor rea^ 
lis ipfiusy^Cy, j/» x^...)f ^^e quod idem elty valori integralia 

Jy<px. paf .(paf' .... dx.Ax.djc^. . . . 
fldhibenda in ha^ integratipne pro y eius valorem per x^ x\ x"' etc, 
«xprelfum, extendenidoque eain per omnes harum fndeterminata. 
rum valore«9 quibus refpondet valor ipfius y inter ^ et ^ fitus. 
Hioc colligimus, integraleyy-vl/y , dy per oninejs valores ipfius 
y, ab yzzi' — od vsquc ad y=:<4* ^ extenfum obtineri ez inte* 

gratione 

fy^x *(px .^x"^* . . Ax.Ajif.Ax^. . . . 

per ooines valores reales ipfarum o;, cd\ jd'' etc. extenfa « puta ab 

jcz=— • oo vsque ad xzz-^- fio, ab j/ss— so vsque ad x =-f--co etc* 

Heducta itaqoe fuoctione y ad formam ^ggregati talium partium 

^K X X -X ^ .m m M 



JyiP'fiy,^\^''""'i-^-^^--^'Px.^sr....Ay.Ax*.Aal'.,:, 



\ 



THEORIA COMBIN. OBSERV- ERRORIBUS MINIM. OBNOXIAE. 15 

valor ibtegrallayya^y . dy per omnes valore» ipfius y extenC» 
feu valor medius iplius y ^ aequalis erit aggregato partium 

ybi integrationes extendendae funt ah x^ — 00 vsque ad ;r=-f- oo^ 
ab o/z: — 00 vsque ad xzz -|- 00 etc; fiue quod eodem redit, ag* 
gregato partium quae oriuntur, dum pro lingulis poteltatibus 
X* \ x^ f x^y etc. ipfarum valores medii fubrtituuntur, cuius ihco- 
rematis grauiflimi veritas etiam ex aliis confiderationibus facite 
deriuari potuiflet» 

Applicemus ea, quae in art* praec« expofuimus> ad cafum 

fpecialem. vbi 

xx-^-x X -f- X X + etc. 

"^ or 

denotante c miiltitudinem.partium in niiixieratore. Valor medius 
ipfius y hic illico inuenitur ::zmm^ accipiendo /characterem m in 
eadem fignilicatione vt fupra. Valor verus quidem ipfius y in 
cafu determinato maior minorue euadere potelt medio, perinde 
ac valer rerus termini fimplicis xx: fed probabilitas quod valor 
fortuitua ipfiua y a medio mm haud reullbiliier aberret, contiiiuo 
magis ad certitudinem appropinquabit crefcente multiludine ar. 
Quod quo clarius eluceat, quum probabilitatem ipfam exacte do» 
terminare non fit^in poteltate» inuefiigemus erroiem medium me« 
tuendum, dum fupponimus yzzzmm. Manifefio per principia 
art. 6. hic error erit radix quadrata valoris medii functionis 

X X -^- X X 4" *^^* ^ 

— mm \ 



c 



ad quem ernendum fufiicit obferuare, valorem medium termini talia 

*x^ n^ g, 

— efie =r — (vtendo cbaractere n in fignificatione art. ti.)> valo- 

Q (S (f (X 



,. ... ^xxx X _ , sm* 
rem medium autem tenoDini lalis - nen = 



vnde 







I 



16 



CAROL. FRIDERIC. GAUSS 



facillime deducitur^ valor medius iHius functionis 



Hinc discimus, li copia fatis magna errorum fortuitorum 
$h inuicem independentium jc^ oi^ x etc, in promtu lit, magna 
certitudine inde peti pode valorem approximatum ip£us vi per 
formulam 



mTzyT 



(^jc 4"'^^' + ^'^''+ etc.) 



« 

erroremctue iSiedium in hac determihatione metuendum , refpectu 
quadrati mm^ efle 

n* — wi* 

Ceterum^ quum polterior formula implicet rquantitatem n, li id 
tantum agitur, vt idea qualiscunque de gradu praecifionis iftius 
determinationis fotmari poflfit, rufHciec, aliquam hypotliefin re- 
fpectu functionis ® amplecti. E« g. in hypotheli tertia art. g, ii. 

ilte error lit -zzmm^ ^». Qupd Cl minus arridet, valor approxi* 

c 

matus ipfiu^. n^ ex ipds erroribus adiumento fbrmulae 

peti poterit. Generajiter autem alTirmare poITumus» praecifionem 
duplicatam in ilta determinatione requirere errorum copiam qua» 
druplicatamy liue pondus determinationis ipli multitudini <r efle 
proportionale. 

Frorfus fimili modo, fi obferuationum errores partem con* 
Ilantem inuoluunt, huiufs valor approximatus eo tutius e itiedio 
arithmetico multoruni errorum colligi poterit, quo maior ho« 
rum multitudo fuerit. £t quidem error medius in hac determi- 
natione metuendus exprimetur per 

sTmm 



• 



&L 



^*. • . 



r 



■ ■ 1^** ' ' * ' ' t ' 






• «'f-- 



THEORtA COMBltl^ OBSERV. ERRORIBUS UINIH, OBNOXIAE. 17 



V 



mm — 'AA 



fi k d^fignart pacteai coofiantem^pfam at^oe m errorem medium 

obferuatioDum parte Gonfiame «onclum purgatarum, liue fimpU» 

m ^ ■ • . 

citer per -^-^ » fi m denotat errorenv medium obferuationum a 

parte cpnitante liberatarum (r. art. g.). 



16. 

In artt. la — 15* fuppofuiniua, erforea x^ x\ x etc. ad idem 
obferuationum genua pertinire, ita vt fingulorum prpbabilitates 
per eandem functionem exprimanhir. Sed fponte patet, difqui* 
fitionem generalem artt.'ia *- 14 aeque facile ad cafum generalto- 
rem extendi, vbi probabtlitates ''erforum x, ^^ x etc per fun* 
ctiones diuerfas ^x, ^lx\ ^' 7^ etc. exprimantur|p i. e. vbi erro- 
res^ illi pertineant ad obferuationes praecifionis feu incertitudinis 
diuerfae* s Sapponamiis, x efle errorem obferuationis talisp cuius 
error medius metuandus fit = m ^ oec non x^ x^' etc. e0*e errores 
aUarum obfemationum» quarum errores medii metuendi refp. fint 
m\ m elc. Tunc valor medius ' aggregati »x -f- x'x' + x" oi' -f- etc. 
erit mm^ mm + tnrn + etc. lam fl aliunde. confiat^ quantita- 
tes m, m\ m txz. %fi% in ratione data, puta numeris 1, ju^ fji' etc. 
refp. proportionales , valor mediu^ exprelBonis 
xx + xx +x X +e tc, 

erit '::zmm. Si vero valorem eiusdem expreffi^onis determinatumy 
prout fors errores X| x\ li* etc. offert, ipfi mm aequalem poni* 
mus, erfor medius» cui baec determinatio obnoxiif manet, fimili 
ratione vt in art praec. inuenitur 

V^(n4 + ii'*+n'^+ etc. — m^ — m'* — f»''4 _ etc. ) 

i + /ti/u+/i /u + etc. 
vbi ri^ n elc^ refpectu obferaatiottum, ad quas pertinent errores 



> \ 



V 



/ 



18 



CAROL. FRlDERia GAUS$ 



x\ X ctc. , iclein denotare fupponuntur, aique n refpectu obfer- 
vationis primae. Quodfi iiaque numeros n^ n\ n' etc. ipfis fn^ 
m\ m etc. proportionales fupponero lioet» Mrbr ilk metueQdus 
mediua fit 

Vin* ~ w* ) . \^( 1 + fj!* +y'4 -f. etc.) 



J^— — ^*»» - — . — ■ 



• •♦-r— 



/A /A + /u /ji + etc. , 

At baecce ratio, valoreni approximatum ipfius m deterroinan^i, 
non e[t ea, quae niaxime ad rem facit. Quod quo clarius ofien* 

_ ■ * ^ 

damuSy confideremus exprefiionem feneraliorem 

xx+qtxx-t-a:px 4- etc. 

y*«^ I I I j i — . i J j — »*, — ■ '••■t .. ■ » j 
— ^ I / / / , // // w , ' \ / 



i + ctfXfx+u^tA jji + etc. 
cuius valor medius quoque erit —mm^ quomodocunque elignn- 
tur coefficientes a', a' etc. Error autem medius metuendus. dum 
vaTotem determinatum ipfius.y, prout fors errores x, x\ x^ etc. 
oliert^ ipfi mm aequalem fiipponimiis, inuenitur per principia 
fiipra tradita 

yr{n^—m^ + cicLin^ - rn^ ) -f a'a"(n"4 — m''4 ) + etc) 



» I ' ' ' I " " '' I ^»^ 
» ■:t-a;^/f.-i-.,a.J« M 4-eic« 

Vt me.error medius fiat quam mia^mus, fiatuere oportebit 



n* — m* ^ . 



f 



ri 



* — !//•*• 



^ n4 — m* , 

a = ^A ' ■ — '/rj*A< Jtx ^^c- 



"4 



n -♦ — m 

Manifefio bi valores euolui nequeunty nifi iufuper ratio quantiu- 
tupi.n, nVw"etc. .ad m,;mV /V' eic aliunde hota fuerit; qua cog- 
nitione exacta deficiente, faUem tutiflimnm videtur *), illas liis 
prQportionales fupponere (v. art. ii ), vnde prodeunt valores 



*} Scilicel cogniiionem qnantitatum ^^ ft" ptCs in^eo folo cafu in pote- 
etate eilcconcipimoa» vbti per rei natoram errorei «^ ^', ^»" ctc. iplis i» 
n', ft" etc. proportionsles, aeqae probabifes cenrendifunt* aat potiua rbi 



kii.^ 



THEORIA COMBIN» 0B6CRV. ERRORfBUS MINIM. OBNOXIAE. 



19 









etc. 




re« 



* 
i e. coefficieiites ct'', a" etc- aeqtiales Itatni xlebent ^ ^^ .^ 

laiiuie abreniauoniim, acl quaa- peruneni; errores x^ x'^ itc» aC 

fumio pondere* ol>feniauonla , ad qnam peninet error Xt pro vni* 

tate. Hoc patelo, defignante vt fupra c muUitudinem errorum 

propofitorum, habebimus valorem medium expreflioiiia 

aB9c4-<tx»+civ» X -f" ®^<^ 

• e* • 
=:mm, atque errorem medium metuendum^ dum valorem for- 
tuito determinatum huius * expreflionia pro valore vero ipfius mm 
addptamiis 

^•(ii^ + a^a'»'* +£t"rt'«'*+ etc. — <rw*) . 



et proin, fiquidem lioet, ipfas Tt, n, n' etc. ipfis m^ ni ^ nC pro* 
portionaleji fuppbnere» 

^ n* — m* 

quae formula identica elt cum ea, qdam fupra pro cafu obferua- 
tionum eiusdem generis inueneramos. 

17. 

. &i valor qnanlitatis, quae ab alia quantitate incognita pendet, 
per obferuatiohem praecifione abfbluta non gaudentem determi- 
nata eft» valor incognitae hinc calculatus etiaih errori obnoxids 
erit, fed nihil in hac deterxhinatione arbitrio relinquitur* At fi 
piures quantitates ab eadem incognita pendentes per obferuatio* 
nes haud abfolute exactas iunotuerunt, valorem incognilaev vel 
per quamlibet harum obfefuationum eruere poffumus, vel per 
aliqoam plurium obferuationum combinationem, quod infinikis 
modis diaerfis fieri poteft. Quamquam vero valpr incogoilae tali 
modo prodiens errori femper obnoxius manet, lamen in alia 

C A 



' 






20 



CAROL. FRIDERIC. GAUSS 



combinattone maior, in alia minor error metaendus erit. Simi» 
liter res fe habebit, & plures quandutes a pluribus inco^nitis fu 
mul p^ndentes funt obCeruatae: prout obfernationuoi multitudo 
« multitodini incognitaeum vel aequalis» y«l luic minoc rel maiolr 
fuerit, problema vel determinatum» vel indetarmioatum» vel plua 
quam determinatum erit (generaliter faltem loquenAo}, ot in cafu 
tertio ad' incoguitarum determinationem obfpruationes infinitis 
modis diuerHs ccnibinari poterunt. £ tall combinationum varie^ 
tate «as eligere, quae maxime ad rem facifnt, i. e. quae incog* 
nitarum valorea erroribus minimia obnoxios fuppeditent^ pro- 
blema fane elt iot applicatione mathefeoa ad ptiilofophiam natura- 
lem longe grauiflimum. « 

In Theoria motus corporum coelefiium ofiendimus, quo- 
modo valores incognitarum maxime probabiUs eroendi fint, fi' lex 
probabilitatis errorum obferuatioAum cognita fitj et quum haec 
lex natura fua in omnibus fcre cafibus hypothetica maneat^ theo- 
riam illam ad legem maxime plaufibilem applicauimus , vbi pro* 

babilitas erroris x quantitati exponentiali e^ proportionalis 

fupponitur» vnde methodus a nobis dudum in calculis pra.erer- 
tim aftronomicis , et nunc quidem a plerisque calculatoribua fub 
nomine methodi quadratbrum minimorum vfitata demanauit. 

Poft^a ill. Laplace, rem alio modo aggre/Fus, idem princif 
pium omnibus aliis etiamnum praeferendum effe dpcuit, quaeciin* 
^que fuerit lex probabilitatis errorumt fi modo qbferuationum 
multitndo fit permagna. .At pro niuhitudiDe obferuationum mo* 
dica, res intacta manfit, iia vt fi lex npfira hypothetica refpua* 
tur, methodus quAdratorum minimoium eo tanlum nomine prae. 
aliis commendabilis habenda fit, quod calculorum concinnitati 
. maixinie efl adaptata. 

Geometris itaque gratum fore fperamus, fi in hacnoua ar* 
gumefiti tractatione dccueiimus^ methodum quadratorum mini- 




THEORIA COMBIN. OE^RV. ]£ftRORIBUS MINIM. OBNOXIAE. 2I 

/ 

j&orniii exhibere combjnationem ex omnibos opttmam^i non qui» 
dem proxime, fed abfolule» quaecunque fuerit lex probabilitaus 
erroromt qnaecunqne obferuationum moititudo, li modo notio* 
liem erroris medii non ad mentem ill. Laplace» fed ita rt in artt, 

• 5 et 6 a nobis fac^um efi ftabiliamua. 

Ceterum expreiria verbis bic praemonere coauenit, in omnji* 
bus difquifitionibus fequentibns tantummodo de. erroribus irregu- 
lariboa atque a parte conltante liberis fermoHem t^lt^ quum pro» 
prie ad perfectam artem obferuandi pertineat, omnes errorum 
confiantium cauflas fommo fiudio amouere. Quaenam vero fub* 
fidia calculator tales obferoationes tractare fufcipiens, quas ab er» 
roribus confiantibus non liberas efle iufta fufpicio adelt, ex ipfo 
calculo probabilium petere poflit, dirquilitioni peculiari alia oc 
caiione promulgandae referuamus. 

18- 
Frobjlsma. 

Dejignante - U functionem Jcitam ^uantitattm incognita^ 

• rnnt ^, A^/ A^" etc. , quaeritur error medius M in determina* 
tione wJoris ipjius JJ tnetuendus^ /i pi^o^l^^ y\ y etc. adop-^ 
tentur non ^alores veri^ Jed ii^ gui.ex obferuationibus ah in^ 
vicem independentibusp erroribus mediis m^ m\ ni etc. rejp. ob* 
noodis prodeunt. 

Sol. Denotatis erroribus in valoribos obfeniatis ipfarnm 
f^t f^f V" etc* per e, t\ /' etc, error inde redondans in yalorem 
ipfiuts XJ exprimi poterit per fuDctionfm linearein 
\t + X'e' + X'*" + etc. = £ 

vbi X, X', X etc funt yaIor«8 qaotientium difiercniialium —— 

AU A U ' ' . 

djF'* df^' *'*'' ^'** ^"loriou» veri» ipfarum ^, y\ F" etc., iiyui- 

8fm obreruationea fatis exactae funt, vt errorum qnadrata pro- 




» I 



A 



k 






22 . CAROL. FRIDERIC. (3AUSS 

ductaque negligere liceat. Hinc primo fequitur, quotiiam obfer- 
vationum errores^ a partibus cportantibus liberi fupponuntur, va« 
lorem medium iprins £ efie r: o._ Forro error medius in ralor^ 
ipHus U metuendus, erit radix qundrata e valore medio ipCus 
E£, fiue MM erit valor medius aggrrgati 
. X?l« + Wee' + W'e'e"+etc. +aXV«'+flXr«" 
+ flX'X"e'e'+ etc. 
At valor medius ipBus \Xee fit Wmmf valor medius ipfius 
y! %! e e fit =rX'X'm'm' etc.j denique valores medii productorum 
kXy^leC^^Ci, omnes fiunt =o Hinc itaque colligimus 

M:=i^r{\Xmm^X>^mm' + X'>:'m"ni' + ttc.) 
Huic folutioni quasdam annotationes adii(^ere conueniet. 

I. Quatenus fpeotando obferuationum errores tanquam quan- 

titates primi ordinis, quantitates ordinum altiorum negliguntur, 

in formula noftra pra X, X' X'^ etc. etiam valores eos quptien* 

d C7 
tium T^ 6^<^« adoptare liceblt, ^i prodeunt e valoribus obfer- 

vatis quantitatum K, V\ f^' etc. Quoties I7efifunctio linearia, 
manifefto nulla prorfus erit differentia. 

II. Si loco errorum mediorum obferuationum, harum pon- 
dera introducere nialumus, fint haec, fecundum vnilatem arbi- 
trariam, refp p, p\ P etc, atque P pondus determinationis va* 
loris ipfius U e valoribus obferuatis quantitatum /^, V\ Veic 
pr<?deunti«. Ita lnibebinius 



''^xx x'x' ^x''r , 

IIL Si T efi: functio alia data quantitatum V^ V\ V*' etc 
atque, pro harum valoribus veris, 

d r _ m _ ^ tl^ ^ ** 



■■ 




i;*. 



THEORIA COMBIN. OBSERV. ERRORIBUS MINIM. OBNOXIAE. 23 

error in det§rminatione valoris iplius T^ i valoribus obfcruati^ 
ipfarum ^, f^\ V" tlc^ peihay erit :zixe -^x e ^ xe + eto^ 
r: £\ atque error medius in ifta determinalione metueadua 
sr V^ ( « X '« w + « x m ni +• x k m m + etc), Errotes £, E' v ero 
manifVI^o ab ijiuiAem iam non erunt independentesp^ vnlorque 
medius prdducti KE!^ fcous ac vnlor medius producti €e\ Jion 
erit =0, fed^ =: xXm m + x\'mm 4- n'}>,!' tnin' -|- etc. 

IV. Problema noltrum etiam ad cafum eum extendere llcet^ 
vbi valores quantitaium f% r\ t^" etc. non immediate per ob« 
feruationes inueniuntur, fed quomodocunque ex obreruationnm 
combinationibus deriuantifr, li modo fihgularuni determinationes 
a^b inuicen) ^unt indepen^^ntes » i. e. obrematloniblis diuerlis fu* 
perfiructae: quoties autem\ha^ condiuo locumnon habet, for- 
mula pro Hd erronea euad^ret. E. g. li vna alteraue obferuaiio» 
quae ad determinationem valoris iplius ^ infcruiit, ctiam ad va- 
lorem iplius /^' determinandum adbibita elTet, errores e et t' 
liaud amplius ab inuicem indepepdeiftes forent, neque adeo pro* 
ducti.ee^ valor medius =: o. Si vero in tali cafu nexns quanti* 
tatum V^ y' cum obferu^ciQnibus limplicibus» e quibus deductae 
funt,.rite perpenditur, valor mcdins producli et adiumento an^ 
notationis iil* aflignari, atqne lic forinula pro M complcta reddi 

* « 

poterit* 

Sint V^ V'f V" etp. functipnes incogniurum x, y, x erc, 
miiUitudo illarum zr^TTf muliitudo. incognitarum ==p, fuppona- 
luusque» per. obferuaiiones vel immediate .vel mediate valores 
functionum innentos elle VzzL, V^zlI!, V" zi L" ^ic.^ ita tamen 
vt hae determinationes ab inuicem fueriut iudependentes. Si p 
maior elt quam Tr» incognitarum euoluiio manifefio fit problema 
indeterminatum ; li p ipfi ^ aequalis efc, lingulae x, y, z etc. in 
formam functionum ipfaium V^ V, V"- tic^ redigi vel redactae 



I I 



/ 



24 CAROL. FRIDERia GAUSS 

concipi poflfunt, ita vt ex harum yaloribus obferuatis valorea ifta* 
rum inu^niri poITint, fimulque adiumento art. pnfec. praecifio* 
nem relatiuam fingulis his determinationibus tribuendani aflignare 
lioeat; deniqoe fi g minor efi: quam Tt^ fingulae x^ y^ zetc. in-^ 
finitia modis diuerfis in formam funciionum iprarum /^, f^' V 
etc. redigi, a<)eoque illarum valores infinitis modb diuerfis erui 
poterunt. Quae . determinationes exacte quidem quadrare debe* 
ffent« fi obferuationes praecifione abfoluta gauderent; quod quum 
fecus le habeatf alii nxodi alios valores •Tuppeditabunt , nec mi. 
nus determioationes e comBinationibus diuerfis petitae inaequali 
praecifione infiructae erunt; 

Ceterum fi in cafu fecundo vel tertio functiones Vy V^^ V eta 
ita comparatae eflent, vt tft^gJ^t ex ipfis, vel p^ures, umj. 
quam functiones reliquarum fpeciare liceret, problenia refpeetu 
pofteriorum functionum etiaxnnum plus quam delerminatum eflet, 
refpectu incognitarum x, y, z etc. autem indeterminatumi harum 
fcilicet valores ne tunc quidem determinare liceret, qoando va^ 
lores functionum V^ V\ V". etc. abfolute exacti dati elFcnt: fed 
hunc cafum a diaquifition# noAra exdudemus. 

Quoties Vy V\ V" etc. per fo non funt functiones lineares 
indeterminatarum fuarum, hoc efiicietur, fi loco incognitarum 
primitiuarum introducuntur ipfarum differentiae a valoribus ap- 
proximatis, quos aliunde cognitos efle fupponere licet. Errores 
xnedios in determinationibus VznLt V* zz L'\ V" zz L" etc. rne- 
tuendos rdp. denotabimus^ per m, m\ m'' etc. , determinationum* 
que pondera per p, p\ p" eic, ita vt fit pmm •ZLp m' m' z± 
p'm"in etc. Rationem, quam interfe tenent errores m«dii, cogni- 
tam fupponemus, ita vt pondera, quorum vnum ad lubitum accipi 
poteft, fiht nota. Denique fiattiemus 

(r L)v^p=t>, {^V'^V)^x!-^.(,V" ^ll'^^jl'-v" tic. 
iManifefio itaque r^a perinde fe babebit, ac fi obferuationes im* 

media- 



THEORIA COMBIN; . QBSfRV; ERROBIBUS Uimit. OBNOXIAE. 25 

mediaue , aeqttali praecifiane gaudenl«s.t puia guarum error me- 
Aiue z=:m}/Cp7zm'Yp=tn'l/'p"tt4i^p fiue qaibua poadoa =1 tri- 
bttitur, fuppeditauiireDt * f . 



M 



•zza, V sa^fp =0 etc; r 



20 



,♦ • i 



.F II o B I. B m a; 

Uefigriantibus Vt if, e" etc. functiones imeares indetermim 
nataritm x, y , z etc. 'jeifuentes • 

v'=:a% + 6't ^ c « + «c. +V f (I) i- 

*"= a"x + &"y 4- <?"*■+ etc. + 1" etc. ) ' 

eic' omhHnis ' fyftemdtibus cpeff\cientium Xp X9 x* itc.i qm itidefi' 

f " 

ita vt h fit quantitas determinata i. e. ab x, y, x etc» indeperidens^ 
€ru£re id^ pro^uoxx-^-nx+x^x^+^^tcl hdncifcatUr vatorem mi- 
mmufn» -: 



« -* 



• t 



$oluti&. Staiuamus ' '> 

av ^a'v -ji^ a'- 1/^ -^ etc/zi: ^ \ 
hv+ b'v + b"v" + ctc. = 11 f (II> 






/'+.eic,= ^ J - N } -- r. :. » • I 
etc. : eruntque etiam £» '9fi i etc. functiones lineared ipTaium oe, 

£=:x2afl+y2ii6-|-zSac4- etc. +'2al 1 

^ >l=:dbSa* + y2r6» + xS*c + etc. +2fc« 4 (in> 
^ ^ = itXac +V£fec+ x2cc + cic. + Scietc. V » 

(vbi Sa a denot^t ag&regafum ,if^a + a a' +,a''^'\+ etc.^ ac. per- 
inde de relii^uia), 

D 



y 



26 



CAUOl. FRIDEHia fiAUSS 



multitudoqtte ipfarutn |, % ^ etc^ mivltitndiiii inJeteBminatfirttm 
jc, y, % etc. fi^quaUs» puta c:; ir» ?er eliminatianem itaque elioi 
poterit aequatio talis *) 

in qua fubftituendo pro £, «y, ^ ctc. valores earum ex III, aequa- 
tio identica prodire debet. Quare ftatuendo 

<r [ctct] + fc{a/3]'-l- c [ay] + ctc. =tf ^ 

'o'[rtct34-i'[rt^]+y[«y.]+<Hc. =«'v. ; ( (IV) , 

«"[««] + i"[rt/3 J + tf"[ay ] + ett. - a" etc. ) . ' 
n(«:eirario erit indefiniter 

ctil + €cV + a't>"+.etc. =x — ^ (Y) 
Haec aequatio docet, inter fyftemata valorumcoefficientium Xf k' 
n! e\fi. certo etiam referendos effe has}c = at jczza\^x' z:^ a' etc. 
nec non, pro fyfteniate quocunque, fieri d^bere indeHnite 

(x — a)« + (x'— .ft')»'+(jf"-ra">»''+ etc..= ^ — A 
quae aeqnatio implicat fequentes 

.( j« -^ « ) a .+ C ^' — ?. a } .«' + .( K — ct[la'.+^ etc^ = o„ 

(x — c«)fr + (;€'— a )i' + (x" — a")fe"+ etc. = o , r. 

(x — a)c + (x — a )c'+ (»"— a").f^+etc. =.^p'r«c* 

Multiplicando has aequaliones refp. per lcCff]^ [a0.}f L<«y] etc. 
et addenclo, obtinemu». propt^r (IV) ■ , ..,..•. .. \ 

( X — rt ) a + ( x—k')<c + (x'-.— «*) fl?" + «Ip. ts o 
^fine qitod idem cft.. .,„•;,,., . ^ ,.; ,\ •.•;.; . ,^-..- . . ,, .' , 

XX •]• »'x' + XX -V etc. = rta -f a'»' + «"ft''+ etc. 

+.^.«-«)r+ (x'-«')« + (y:_^>:j)a +'eu, ^ • 

vt>4^ ;P<ttet, aggre^atum nTi +7«'x +\i^''x'.+ citc. yaloi^m mini- 
mum otiioere, fi Jftati^tur ac=/t^ »-=rV< x't=a etc. O, E. /. 

*^ '*)'Rati6,' ctir srd *'<f^not3rtaos ctfffficlentci e tali '^limiriatione p^odeun. 
tes, lio0 poiifTimam cbaracteres^elegerimua, infra elacebfr. ' 



THEORtA COMBIV. 0BS8RV. ERRORfBUS MmiAf. OBNOXIAE;. 27 

* Ceterum hic valor miiiimus ipfe fe^uenti modo 6ruiiur, Ae<* 
^uatio (V) docet elTe 

a6 + ah' + a^t" + etc. = o 
tf c + ct'c^' -f" a"c'' tJ- etc. =s o etc. 

Multiplicando^has aequationes refp. per [cta']^ [cejS]» [ay'] etc. 
et addendOf protinus habemus adlumento aequationum .(I^) 

tftf + OL CL + rt^a'' + ctc. == [tf Ofc] 



/. 



21* 

Quum obferuationes ruppeditauerint aequationes (proxime 
▼eras) v = o, vzzo^ v':=:o etc.| ad valorem incognitae x inde 
eliciendum^ combinatio illarum aequatiomim talii 

KV+xv + j^'v'+etc.z=,o 

adhibenda eft, quae ipfi x coefficientem i conciliet, incognitas* 
que reliquaa y« x etc. eliminet; cui determinationi per art. ig. 
pondus 



KK + X X + X X + etc- 

tribuendum ecit. Ex arL praec. itaque fequitur, determinationem 
maxime idoneam eam fore, vbi fiatuatur x:=^(tfKzzcifx'^a'ttc. 
Hoc pacto X obtinet Yalorem A^ manifeAoque idem valor etiam 
(absque cognitiona multiplicatorum «» a^ a etc. ) protinus per 
eliminationem ex aequationibus £=o» if=:o, ^:=:o etc* elici poteft, 

i 

Pondus huic determinationi tribuehdum erit = 7^ 7 . fiue error 

tcect] 

meditts in ipfa metuendus 

smv^p^flPrt] =:mV|i^'[«a] —nC'/'p[aa^ etc 

Prorfus fiinili modo determinatio. maxime idonea incognita- 
rnm reliquarum y^ % etc. eosdem valores ipfis conciliabit, qui 

D a 



T-" »' 



/ 



28 



CAROL. FRIDPRIC. <SAU5$ 



aequatiombus ^= p/if =: 0/ ^r: o et6< 



per eliminatloiiem ex 
prodeunt. 

Denotanao aggregatum indelinltum d t) + r t>' + v"^ v" etc, 
fiue quod idem ell hoc 

per il , patet , a | , fl »[, a ^ etc. effe quoiientes differentiales par* 
tiales fuuctionis Q.puta 

I 



dH iO. 



dx ' 



dy • 



« ^= d7 *'**'• 



Quapropter valores incognitarum ex obferuaiionum combiivatione 
^axime idonea prodeuntes, quos twrtores niflxiW plaufibites com- 
mode vocare poffumus, identici enmt cunviis, per (juos ft va- 
lorem minimum obtinet. lam f^— L indefinite exprimir diffe- 
rentiam inter valorem computatum et obferuatum.. Valores ita- 
que incognilarum niaxiihe plaufibiles iidtm erunti quf fummam 
quadratoru^n differentiarum intcr quanlitatum r^ V\ V" etc. 
valores obfejruatos et computatos, per obferuationum pondera 
multiplicatorum , minimam effieiunt. .qiioa prinripium in T/ico- 
ria Motus Corporum Coelefiium longe alia Via rtabiliueramus. Et 
fi infuper praecifio relatiua fingularum determinationum nffi- 
gnanda eft, per eliminationem indefinitam e* aequationibus (III) 
ipfas X. y, % etc. in tali forma exhibcreoporlei: 

3r=fl + [3tt]a+[33]?i+,[^y](^-«^^-, {•(Y"?. . 

etc. . 



^^ 



> . ~ 



quo pacto valores maxime plaufibiles ineognitarum x, y, z etc. 
erunt refp. ^, B, C etc, aique pondera bis determinationibus 



THEORIA COMBm. OBSERV. f^RHORIBUS MINIM. OBNOXIAE. 29 



trlbuenda 



£ue errores medii in 



ipfis metuendi ^ 

pro X ^n\^p['au] =mVp'[dtcc] — m V/>"[rta] ctc. 

• pr6 y....4.Tnyrp['B$] =wVp [^3/3] =wVp''[/a/3] etc, ^ 

, pro z. '«V^p[yy] ^''^^^'[yy] z=m'Vp''[yy] ctc. 

etc. • " * 

quod conuenit cum iis, quae in fheoria^Motus Corporum CoC" 
Ufiium docuimus^ 



1^2 ♦ 

De cafu oninium. nmpliciJIimoY limul vero frequentifTmio, 
vbi vnica incognita ad^t, atque T^zzx^y' :=zx^y" z=x eic^ paucis 
feorlim agerc conueniet. Erit fcilicet a — ^p^azzV^ p\ n" =: V p" etc, 
l^ — L^p, rn — LVjt,', r=^L'Vp'etc.,^t proin 

£= (p+V + p"+ etc.) X • {pL^p'L'^p"L" + etc.) 

i 
Hinc porro 



I • 



(««]= 



A z=. 



p 4" />' + p" + «tc. 

pL -^^- p' L! -^- p"l!' + etc. 



p + p' + p'"h ^^^» 



Si itaque e pluribus obferuationibus inaeqnali praecifionr 
gaudentibuSy et quarum pohdera refp. '^funt p^ p\ p" etc. , valor 
eiusdem quantitatis innentus eA eprima = L, e fecuiida zzL\ e 
terlia z= J-1' etc, huius valor maxime plaufibilis erit 

■^ pL+ p L! -^p" Ll' -^- elc. 
pondtisque huius detcrminationis = p + p' + />'' etc. Si omnes 



J~- 



30 CAR. FRID. GAUSS THEOR. COMB. OOS. ERROR. MINIM. OBNOX. 

obferuationes ae(][uali praecilione gaudent, yalor maxime plaufibi- 
lis erit 

L + L' + L"+ etc. 

L e. aequalis medio arithmetico valorum obreruatorumi Iiuitfsque 
ileierminationia pondus =7rf accepto pondere obferuationum 
pro Fnitate» 



, .-^ 



, j» 



mi^» 



T H E O R I A 

COMBINATIONIS OBSERVATIONUM 

ERRORIBUS MINIMIS OBNOXIAE. 



FARS POSTERIOR. 
jK)CIBTATI RBOUE EXHIBITA FEBR. s. i^is. 



23* 

1: lures «dhac fuperfant difqui£tiones, per quks theoria ptaeco* 
deos tum illuArabltur tum ampliabitur. 

Ante omnia inuefiigare oportet, num negotium eliminatio- 
nia, cuiua adiumento indelerminatae x, y, z etc. per ^, ^^ C ^^^* 
exprimenclae funt, femper ilt pa/Hbile. . Quuni muliitudo illarum 
znultitudiai harum aequalis fit, e theoria elimioationis in aequa- 
tionibus linearibus conftat, illam ellminationem, li £, )j, ^ ctc. 
ab inuicem independentes lint, certo poflibilem fore; liii minus, 
impoffibiUm. fiupponamus aliquantifper, ^, Tjt ^etc. hon eP[e ab 
inuicen^ independentes, fed exltare inter ipfas aequationem 
idenlicam 

o = F^'+ G i,"4. H^+ eti. + JC 
Habebimus itaque 

FXaa + G2a6 + /f24ic + eta rro 

F2fli+ GXbb+ UXifc + etc. =s o 
*• ' • F2£a^ -f- G^hc -f H^cc* + etc, = o : 
etc f rtec^non 

FSa/+G2il + H2c/ + ete. = — X 



L 



- CAROL. FRIDERIC. flAUSS 

Statuenda porto -- 

aF+hG + c.Hf etc. = 81 
„'F+ 6'G+ «■» + et». = «^ WI) 
c"F+b"G+ c"H + etc = r.' ; 
etc. , eruitur 

at + atf+ag' + ttc = o 
. M+Vff+i^r + etc.=o .,■ 

cfl + c'fl'+c"9" +«»■=• '■ ■ 

etc, nec no« 

jj + ffl^ + rr+eto. =— «■ 

Mulliplicantlo itaque aequatione» (I) tefp. per 9, S, &' etc. et 
addendo, oblinemus: * 

o^Jfl + fffl^+rr+etc 
quae aequalio mqnifeflo connftere neqnit, nin fimul fuerit «=o, 
ff^o, r=oetc Hincprimo colligimus, necelTatio effe debete K=o. 
Deln aequatlooe» (l/docent, functlone» », v, •>" etc ila compa- 
ratas elTe, vt iprarutn valorea non mutentur, fi valorea quantita. 
tum X, y, X etc. capiant incrementa vel decretnenta ipfis F,'G, II etc 
refp^ propottionali»; idemque matiifefio de funclioniBus *f, *",' 
y" etc valebit. Suppofilio itaque cpnfiftere nequit, nifi in cafit 
tali, vbi vel e valoribua exaclis quantitalum ,f , V, V" etc va- 
lore» incognitarum x, y, % etc determinare imporfibile foitTet, i. e. 
vbi problema natura fua fuilfel indetermiiiatam,. quem catum a 
difquifitione noftri exdufimus. 

2+ ■ _ 
Denotemns pet |3, &, 3" eicv imiltlplicatore» , qui eanden 
relalionem habent ad indeterminatam y, quam liabent o,*', «"etc 
ad X, puu fit .■ - ' 



/ 



etc. 



THEORIA CQMBIN. OBSKRV. ERRORIBUS MIWM. OBNOXUE. 33 

ii[/3a3 +A[/3/33' + c [/3y] -i- etc. =3 
»'i0cc] + b'iB&]+c'[0y]+ etc. =/3' 
«"C3a3 +b"[B^]+c"lM+^tc -&" - 
ita vt fiat indefinite 
w+ /3' v + /3"»" + etc. = y — B 

£nt y» y't y\ etc. multiplicatores fimiles refpecta in«[eter- 
minatae z, pota 

« [v«}+ 6 [yj3] 4- ^Cyvl + «tc- =y 

<»'[ytf3-l-*'{yi33+«'[vv]+ etC' =v' 

. «"[ytf3+.i^"[y^3+*"[yy] + «»c-=y'' 

etc. , ita Tt fiat indefinite 

N 

y tj -|- y' t?' 4" y'' © -|- CtC. rS Z — C 

et £c porro. Hoc pactOi perinde vt iam in art« flo. iimeneramus 
2aa= 1, 2rti=o, Sa4? = o, etc., nec non 2«/= — -^, 

ttiam habebimns 

, 2i3fl=:o, 206=1, 2j3^=oet€., atque 2/3/= — B 
2yfl = o, 2yi=o, 2y^= * «tc, atque 2y/ = -^C 

eft £6 porso. Nec minus, quemadmod«m in art. «o. prodiit 

2acc=: [ccrt], etiam «rit - ^ t 

2;3)3 = [/3/3]. 2yy = fyy] «te. 

MultiplicHndo porro valores iprorura ^, rc', a" etc. (art. flo. IV) 
refp. per j3 1 3» i3 ' ^'^* *' addendo, obtinenufs 

a3+rt'3' + a'jS"ete. = [c«/3],iiue 2a/3 = [rt3l 
Multipli<:an^. aunem, valorea ipforum 0, /3', /3'^ ^^^ refp«N per 
a f cc'f a ' etc. 9 et addendOf perinde prodit 1 

r«i3 + i*'i3'+a'/3"+«tc. :a[3rt],^deoque'-fct3] rz [j3a} 
Frorfus iimili modo eruitur 

Uy] = [y^] = S«y, [j3y] = [y3] = 2/3y ete. 

' Denotemue porro per X , X', X'' etc. valores functionum 
«, 1», D etc.9 'qni prodeunt, dnm pto x, y, x etc. ipfarum va«» 
lores maxime plaufibiles A^B^ C etc. fubltituuntur, puta 

E 





1<>tf?^'. 



I 



I 



3^ CAROL. FRIDERIC. GAUSS 



\ -^ 



/\ 



«yf + fcB + cC-f etc. +/ = X 

fl'^ +6'il -h c'C-J. etc. +Z' = X' 

a"^+fc"B+c"C-f^etc. + /"=\'' - 

etc.} ftatuamus praeterea 

XX + X' V + X" X" + etc = M 

ita Tt iit M valor functionis £h valoribus maxime plaufibilibus 
indeteriuinatarum refpondens, adeoqoie per ea, quae.in* art. ao. 
* demonitrauimus,, valor mioimns hnius funcdonis. Hinc erit 
«X + « X' + «''X"+ «tc, valor ipfius ^valoribus xn^, y=:B, 
L-^C etc refpondens , adeoque =: o, i. e. brabebimus 

SoX = o 

et perinde Bet 

2fcX = a, 2cX = o etc; nec non 2ceX = o, S$X=:o> 
2yX = o etc. 

Denique mulliplicando exprefliones ipfarum X • X'f X'' eic per 
X» X\ X'' etc refp., et addendo» pbtinemus W + t'}s! + t)\!' + et^.» 
= XX + X'X' + X"X"+ etc, fiue^ 
S/X^=M* 

26. 

Substitucndo in aequatione » = «« +4y + *%+ etc. +1, 
pro x,^. s 'ctc exprefliones VII. art. sa,- prodibit, adbibitis 
reduciionibus ex praecedentibu» obntis, 

»=tt^+j3»j + y^+ etc-*+^ 

et perinde erit indefinite ^ 

' »' ;=«' ^+/3'»> + y'i+etc +X' 

»" = a"a + j3"»I + y"^+«^c-+>^" 
etc. Miiliiplicando vel has aequationea, .vel aequationes I ayt.ao. 

refp. per X, X',' X" etc. , et addendo , difcimu» tS^ indefiniie 
X» + X' »' + X" »" + «c ^ W. 







THEORIA COMBHT. OBSERV. ERRORIBUS MINIM. OBNOXIAE. 35 

FuBCtk) fl indefioite in pluribus formis exhiberi poteit, 
qiias eaoluere operae pretium crit. Ac primo quidem quadran^o 
aequationes I art. ao« et addendo, Itatirau fit < 

+ axzS a<? -f ayaStCrf-etc. + 8«2a/+ aytSW 
+ «2S^/ + ctc. + Si/*: 
quae eft forma prima. 

Multiplicando easdem aequationes refp. per r, r/ »' elc., et 
addendo, obtinemus: 

a=:'£x+>,y+^x + etc.+Zr+rt7'+rt>"+ etc. * _ 
atque hinc, fubfiituendo pro », »/ v" etc. cxprefliones in art^ 
praec. traditas, 

ii=^£«+ ^^ + ^"2+ etc. — A^—B^^C^^ ttc ^M 
liue 

a = £Cx-^) + ,,(y — B)'+^(z-C) + e<c + ^MT 
^tuie eft forma fecunda. • 

Subfiituendo in forma fecnnda pro x — A, y^^B^ x — Cetc 
cxpreiriones VIL art. si, obtinemus formam teniami 

i2 = [a«]^| + [i3/3]i,a; + [yy]^^+ ctc. +^[rti3]£i| 
+ «[cty]^^ + a[3y]i,^+ etc. + m; . 
Hi« adiangi poteft foraia quartat «x forma tertia, atque formulis 
ark. praec - fponte' demanans: 

a = M+2(o— X)« 
quae forma conditionem minimi dircde ob oculos fiftit» 

Sint «, «',_«'' etc.. errores ia obferuatipnibns , quae decteraat 
^=^» ^'=i'i V".zs.L" etc. commi0i« i. e. fint valores yeri 
functionum r, V\ V" etc. refp. 1.—«, L'-^e', L"-*^' etc adeo- 
<iue yalpres veri. ipfarum », »', •" etc. refp. '-eVp, — e'v^p', 

E a 



> / 



',V 



36 



CAROL» FRIDERIC. GAUSS 



^ e' Vp" ctc. Hinc valor verus ipfius x eril = -^ — et e Vp 

cieVp^ rt'y/p"ctc. , fiue error valoris ipfius «« -in 4e- 

terminatione maxime idonea commiirui, quem per £x deiio(are 

conueDit, 

=:aeVp+ aeV^p+a' e' V p ' -f- etc* 
Ferinde errpr valoris ipfius y in determinatione maxime idonea 
commilTus, quem per Ey denotabimus, erit • 

= /3e^^p + /3'eVp +/3"e'Vp'+ etc» 
Valor medius quadr^ti (Ex)^ inuenitur ziinfnp(^aa + aa 
^^"^"^ eic.) = mmplaa]f valor medius: quadrati (£y)* pcr- 
inde zzmmp[li0] etc, v£ iam fupra docuimus. lam vero eiiam 
valorcm medium jproducti Ex^Ey alTignare licet^ qnippe qui in- 

venitur 

= 7nmp(cti3+:a3'+«'i3" + etcO=:>wmp[rt/3]. 

Concinne haec ita quoque exprimi poifunt. Valores medii qua- 
dratorum (£»)^, (JEy)* etc. refp. aequales funt produciis ex 
immp in quotientes differentialium%artialium fecundi ordinis 

dda dda 
* — t-t: — , ' -r— - eta 

valorquQ medius proJuctl talU» vt Ex . Eyp aequsilis clt productO 

ex « mmp in qiiotientcm differentialem .^^- v^ , quatenus quf- 



dem Q. tamquam fuoctio indeterminatarum $> «ft ^ eic. con- 




ur» 



F :. 



1» 



Defi^^net t funcliQttcm datani linearem quantitatunV x, y, z e tc. ^ 

. j[)9ta lit 

t rr/x + gy + 'i^ + «^c- + A. 

Valor ipfius ^ e valoribus maximfe plaofibilibas ipDirom a:, y, zetc. 
t^rbdiens hinc-ctit =/i* + ^B + fiC+ etc/+'A/ ^cm per K 
• denbt^bimtisl ^^Qui fi tiimquam valolr verus i^fios t adoplatir, cr- 
tor cornhiinittir^ qtif ent ^ ' - ^ • m : 

*. ' zr/EJc+gEy +/*kx + et*,- ' ' '. • 




THEORIA COMBIN.OBSERV. ERRORIBUS MINM. OBMOXIAE, 37 

ttque per Et denotabiiiin. Manifelto Talor meditis huius erroris 
&t —Of iiue error a parU^ conltante liber eric. At valor medius 
^uadrati (£t)^, Iiue.valor medius aggregati . . 

Jf(Exy + QfgEx.Ey-^.f,fhEx.Ez+etc. 

+ A A (Ea:)* + etc. etc. 
per ea, quae in art* praec» expofoimus» aequalis fit pioducto ex 
mmp in aggregatum 

//[c«oc3 + a/grr«iSj + a/ft[ay] + ctc. , 
+ fi^5[|33] + flg'*[3y]+ etc^ 

-f- /» fc [yy] + etc. eta 
fiue prbductp ex mmp in valorem functionis ^l — M, qoi 
prodit per fubAitutiones 

Denotando igitur huqc valorem deierminatom functionis Q, — lit' 
per ar> error medius metuendus, dum determinationi t =: K . adhae- 

remus» erit rrmVpait fiue pondus huius determinationis = — . 

9?"?» indcfinite h^t^eatur ii — i«r=:(x ^^) ^+ (y ^ B) ^ 
+ (^'~^)^+ ^^^9 patct, oi quo^^,aequa^ifi eile valori deter* 
minato.expreinonis (x -:*)/+ fy~B)g + (^z—C)h^ etc, 
fiue valori determinato ipfius t — K, qui prodit, C indetermina. 

■ • 

tis X, jr, letc tribunniur valores ii, qui refpondent valoribu» 
ipfarum ^, tj/^eto' his /, £.» A ctc. 

Denique obfefruamus, fi V indef^ni(e io lormam fuiictiQnis 
ipfarum ^. jf, j etc. redigatur, ipfius parteni. cpnftanteiq neceasj|> 
no fieii =£. ' Quodirigitur indefimte fic. -'i ' 

«=F^+G^+ff^+etc. +JSC : 

etit w=/F+ffG + /i//4- etc. 

Functio £1 valorem funm abfolute mhnmum M, vt fupra Ti- 
dimus, nancifcitur, faciendo x=^, j=zfi, zrrCeic., fiueg=o 



i / 



38 



CAROL. ERIDERIC. GAUSS 



if = o I ^zi o etc. Si T^ro allcui illaruRi quanlitatum :valdr nKus 
iam tributua eft, e. 'g. x=:-rf + A, variantibus reliquis £1 affequi 
poteft valorem relaliae miDimumi ^qui manifeXto obtinetur adiu- 



mento acquationum ' > . 

xz=.rf-fA, j^= 0,-^=0 etc. 
FUri debet itaque ijzro, ^=o cta, adtoque, qQoniam x — A 

, . [tf<3]A ^ . [«y]'A 

y = B •{ — T T" ♦ * = C T ' ^ •'". 



Simul habebitur 



[aa] ' ~ ' [««] 

Valor relatiue minimua ipfius Q, autem fit =[(£<{] ^^ +M 

AA 

= ^ + [^]- 



Vice verfa hinc cplligimus , li valor ipfiuS' Cl U* 



n^item praefcriptum M + ///z non fuperare debet^ valorem ipfius 
X neceffario inter limites A — fjLyflact] ei A ^ fx\^[cia'] conten- 
tum effe debere. Notari mereturi /i^^[eta] aequalem ficri crrori 
medio in valore maxime plaufibili ipfius x metuendo, fi ftatuatur 
u = ?n v^ p , i. c. fi /i aequalis fit errori medio obferuatibnum u- 
lium, quibus pondus = 1 tribuitur, 

Gencralius inueftigemus valorem minimum ipfius Q» qui 
pro valore dato ipfina t locum habere jpotelt, denotante « vt in 
art. praec. f unctionem linearem /« + gy + ^ « + etc. + A , et 
cuius valor maxime plaufibilis = K: valor praefcriptus ipfiiis t 
denotetur per K + Xt E theoria maximorum et minimorum conr 
fiat, problematis folutionem petendam eHi» ex aequationibu» 

dii__.de 



dx 

da 



d!> 

dt 



dy-^dy 

da . d*. 
^— = fl j- «tc. 
d« cx 



THGORIA COMBIN. OBSERV. ERRORIBUS UINTM. OBNOXIAE. 39 

liue ^zzQff 9| = Qg^ i=9h etc, defignaiite Q multiplicator^m ad^* 
huc indeterminatum. Quare li, vt in art. praec.| Itatuimus, efle 
indefinite, 

habebimus 

iS: + ;e=:fl(/F+gO + AH4^eic.) + K, Bue 
■' '- X 

(a ■ \ ' ■ 

accipiendo cd in eadem fignififcatione Tt in art praea Et quum 
Qi^M^ indefiaite, fit functio homogenea fecundi ordinrs in« 
determinatarnm £, ^, ^etc. ,' fponte patet, eiiis valorem pro 
^rrfl/, 71 = 6 g^ i^^Qh etc. fieri ziQQm, et proin valbrem mini- 
mam, quem Q, pro tzzK + x obtinere potefi, fieri zzM+ QQca 

zz. M-^ >. Vioe verfa, 11 £2 debet valorem allquem praefcriptum 

M + IX fjL Don fuperare, valor ipfius t' necelfario inter limites 
K-^ IxV 00 et K + fxV^ Qi) contentus eife debet, vbi /xV^ctf aequalia 
^t errori' m<Jdio in' determinatione maxime plaufibili ipfius t me^ 
tilendo, fi pro /z accipitur error medius obferuationum, quibus 
pondtfts = i tribuitur. 



.31- 
Quoties multitndo quantitatum at, y, z etc. paullo maior ell^ 
determinatio numerica valot om A^ B^ C etc ex aequatiooibua 
£==o, ijr^o, ^J=:o etc. pef eliminatiooem vulgaremfatis molelta 
euadit. Propterea in Theoria Motus Corporum Coeleltium art. 
iga algorithmum peculiarem addigitauimus ^ -atqne in Disquiji^ 
tione dt elernentis ellipticis Paltadis (Comm. recent. Soc ^Got* 
ting. Vol. I. ) copiofe explicauimus , per quem labor iile ad tan» 
tam quantam quidem res fert fimplicitatem euebitur» Reducenda 
fcilicet elt fnnctioXL fub formam talem: 






40 



CAROL. FRIDERia GAUSS 



w® u^ 






u u 



2( 



+ <^' + g 



+ 



/// /// 

u u 



JD"' 



+ etc. "+ M 



vbi ctiuifores ?(^, ^\ iE'\ 1b"' etc. funt quantitates determinatae; 
u^, u\ u\ u* etc. autem functionea lineares iprarufn -x-, y; % etc. 
ijuarum tamen fecunda u libera elt ab x^ tertia u libera ab x et 

y, quarta iibera ab x^ y^et x, ^et fif porro» ita irt.yltima ir"^^^ 
folam vltimam sndeterminatarum x^ y, z etc. ^mplicet; denique 
coe/BcienteSi per 4)u6a x^ y^ z etc. refp. muUipUcatae funt in u^« 
i/, ii€X^.^ relj>^.Aeq«ialeS;£ui7^ ipf^* ?f% r^'» .^" «tc. Qulbus ila 
facti^ rtaiuenjdUim eA uP=:o, uzzo^ uzzo^ u'zzo etc, vnde ▼•• 
lores incognitarum x, y^ z etc. ipuerfo ordine commodiflima ell* 
cientur. Haud opus yideiur« algorithmum ipfum, per quetn 
haec trandformaiio functionis ^ abfoluitur, bic dcnuo repeterfu 

Sed mnllo ftdhuo mtgta prolixum calculum requirit elimina* 
iio indetinita, cuius adiuniento illarum determinationuni pondera 
inuenire oportet* Pondfus quidem dcterminationis incognitae vj- . 

timae <quae fola vUimam lA"",""*^ ingrcditur) per ea, quae ia 
Tbeoria Motus Corporum Coeleftium demonlirata funt, facile inr 
venitur aequale termino vUimo in ferie diuifo^urti 2(^,;®', C"etc.| 
quapropter plures calculatores , vt eliminationen^ illam mole/tam * 
cuitarent^ delicientibu3 aliis fubfidiis, ita fibi confuluerunt^ vt 
algorithmum de quo dm^^u^ pluries, mutato quantitatum x, 
y^z etc^ ordine^ repeterent, ilngulis deinceps vltimum locum 
occupantibua. Gratum itaque geometris fore fperamus, li mo* 
dum nouum pondera determinatlonum calculandi^ a penitiori ' 
argumenti perfcrutatione iiaultum faic exponamusi qui nibil am» 
plius defiderandum relinquere videtun 



32 



tk- 



i 



THEORIA -COMBIN. OBSERV. ERRORIBUS MlNIM. OBNOXIAE. 41 



32» 
Statuamns itaquf» rffe (I) 

u = SB'y + e' z + etc. + ^ 

' eic. 

Hinc erit inde&nitd 

|dQ, = ^dx4-^dy -f- ^dz4- ctc. 

u® d u^ u Au u' Au' 

+ ca' +• if''^ 4" ®^^* 



:» 



2fo 



^o 



5=tt«(d«+ .>,-5-dy + ^5d» + etc.) 



+ u'(dy + ^, d^z 4- etc.) + u (ds + etc.) + etc. 
ynde calligimus (II) 

»1=-^ u» + u 



€ 



r , 



eic. 
Supponamus, hinc deriuari formulas fequentes (HI) 

uo = £ 
u'=^| + i, 

u" = ^'e+fl"il + ^ 
etc. 
lam e differentiali compleco aequationis 

a = £(x — ^) + aj(y-i») + ^(x-C)+eic. +M 

-fubtracta aeqruatione 

|da = $dK + »,dy + ^dz+ eto. 

fequitur 

idr2=(«--<)d| + (y-Ji)d», + (z-C)d^+etc. 

F 



l CAROL. FRIDERIC. CAU.SS . .. 

uae exprefGo iclentica effe debet cuni hac ex III demAiiRnte: 
|^-d|4-|'('<'d5+d»l),+'^.(^'<l^+B"d*,+d^J + etc. 

Hinc colligimiis (IV) 

X = ^ +A'.^.-\- A". ^. + etc. + ^ 

^, + eic + B 

»= ^,+ etc. +C . 

etc. 
, SuBrtituendo in his exprellionibus pro u<^, u', u" etc. valores cn' 
rum ex III depromtos, eliniinatio indeBnita abfoluta erit. Et 
guidem ad pondera deterniinanda habebtmua (V) 
A' A: a" Ai' a"' A" 



[aa] = 


a° 


+ 


»' 


+ 


r' 


+ 


D'" 


+ «c, 


[33] = 






W 


+ 




+ 


2i'-S" 

50"' 


+ etc 


[yv] = 










1 
r 


+ 


■»"' 


+ etc 



etc. 
quarum formularuni fimplicilas nihil defideran(!um relinquit. Ce- 
terum etiam pro coefficicntibus reliquis [aS]. [ay]. [/3y] etc, 
formulae aeque rimplices prodeunt, quas tam^n , quum illorum 
vfus Ilt rarior, hic apponere ruperfedemus. 

33- 
Propter rei grauitatem, et vt omnia ad calculum parata fint; 
etiani formulas expHcitas ad determinationem coefiicientiuni A' , 
A" t ^" etc B", B"' etc. etc. hic adfcribere vifum eft, Duptici 
niodo hic calculus adoTnaii poteii, quum Aequationea identicae 
prodire debeant. tum fi valores ipfarum u°, u', u" etr. ex Itl 
depromti in U fubftitauntur, tura ex fiibliitutione T«lotum 



S5 



lOMBIN.OBSERV. ERRORICUS MINIM. OBNOXIAE. 



' if, ^ etc. ex II in III, Prior modus haec formuUri 

I ' 

' " """ <=«'"-•"+ ijj'- 

'c^^oueniuntur ^', -<", y<"' etc, 
^C^ «C + fl" = o 

^ ^ + |:a"+ir=o 

■/ inueninntur B , O etc. 

//- . /+<^" = <'. 

inueniuntur C^ «tc Et fic porro. 
* ''' modiis has formalas fuggerit: 
?r , ^^-^^ + ^oso 
tur *«'. 

niimtur fi^' «t A", 
^/ * o^^^SBoflT^+C^cr + !D* = o 
SB'B"'+ff' C" + ®^ =o 
* *■ V €"C" + 5S>"=o 

' „ «'HUDDtur C", B"', ,^". Et iio porro. 

nodus aeque fere commodni elt , ii pond<eEa determint- 
anctamm x, jr, zetc. de(iiletantur i quoiies vero e quan- 
'/ f /art], [;S0], [yy] eic. vna tantum Tel altera requiri- 
.ifefio iyitemA prius longe praeferendum erit. 

* " ' j. , 



CAROL. FRIDERIC. CAU.SS ■ 
qu«e expreffio identic» elle debet cuni hac ei III dennnante; 

Hinc coUigimus (IV) ^ . ■ 

y= ^.+ 'i'-^.+ "-'-+B 

.= ^,+ etc. + C • 

etc 
Su^Aituenclo in his exprellionibus pro u», u, u" etc. valoMS ca- 
rum ex 111 depromtos, eliniinauo indefinita abfoluta eiit. Et 
quidem ftd pondera determinanda babebtmua (V) 

I ^' ^ A" A' A'" A" , 

u«] = ^ + -^ + "r'" + -^'=^+"'' , 

I B" B" Zi'" i3"' 

1 c"' c"' 

[vy]= e» +-!D~ +""'• 

etc. 
quaruni fomiularum fimplicitas niliil defiderandum relinquit. Ce- 
terum eliam pro coefTicientibus reli<ioi« [itfl], [ay]. [)3y] etc. 
formnlae aeque fimplices prodeunt, qua» lamen, quum illorum 
vrus flt rarlor, hic apponere fuperreaemua. 

33. . 

Fropter rei grauilatem, et vt omnia ad calculum parata fint; 
eliam formulas eiplicitas ad determinationem coefficientium A, 
A" A" etc. fl^, ^" etc. etc. hic adfcribere vifum elt. DupUci 
modo hic caloulus adornaii poteft, quiim «equatiohe» idenlicae 
prodire debeant, tum fi valores ipfarnm u°, u', u" elc. ex III 
deproi^ti in II fubftitnuntar, tum ex fuUUtutione valotum 



THEORIA COMBIN. OBSERV. ERRORICUS MiNIM. OBNOXIAE. 

ipfarum ' £, il, ^ «tc. ex II in lil. Prior modus haec formulan 
ryltemata rubminiltrat : 

a^ + ^^o 

^ + 's8-'^+ r"* +^ =" 

etc.- Tnde inueniuntur .^', j^y ^" ctc 
€' 

». + «"=<- 

, | + ^^'+B^-=o 

etc vnde inueniuntur fi", fi^" 6tc> 

•tc vnde inueniuntur C^' etc. Et Gc pocro. 
Alter modii» haa formulaa ruggerit: 
5(*'-<' + »'''=o 
rnde babetur a'. 

K» -*" + »<' af + C*» = o 
S5' tf ' + ^ = o 
Tode inueninntur S" et ,ii". 

2(«-<"' + «*^"+€*C^+ 5D» = o 
g5'B"'+r C" + SJ^so 
Cc"' + Il" = o 
Tnde inueniantur C", B'", ^'. £t iic porro. 
Vterque modus aeque fere commoda* eA . fi pondeta determina< 
tionum cunctarum x, jr, z etc. defidetantur ; quotiea vero e quan- 
titatibus [cea]. [/3d]> [yy] <tc vna tantum Tel altera requiri- 
tur, manifelto Jyitcma priuB looge praefeiendum erit. 

F fl 



44 



CAROL. FRIDERIC. GAUSS 




Ceterutn combinatio aecjLiniionum I cmn IV aci easJem for 
mulas pevducit, infuperque calciiluui dupliceiu ai eruendos valo 
res maxime plaufibiles j4, B, C etc. ipfoB fuppediiat, puta primo 



■ A' 



i' 


— A" 


r 


-^" 


S)" 


— etc. 


4 
SB' 


-e 


e" 


-B' 


D"' 


— etc. 




- 




-C 


, i"' 

i)"' 


— etc 



. Calculus hlter idenlicus «ft cum vulgari, vbi ftatuilur u" = o, 
u —o , u = o etc. 

34- 

Quae in art. js. expofuimus, fiint tantummodo cafus fp«- 
ciales theoremaiis generalioiis, quod ita le habet: 

THEonEMA. Oefignet t functionem iinearem indeterminatarwii 
X, y, z etc. hanc 

t = /^x-(-gy+/.z+ etc. + A, ^ - 

quae transmutata in functionein irideurniinatnrum u°, u, «" etc fiat 

t = A» «=* + A' «' + A" u" -I- eic. -H A 
Quibus iia fe habeniibus erii Kvalor majtJme plaufibilis ipiius t, 
atque pondus hiiius delerminationis 



" 2(0 A«A* + 3'A'A' + r'A"A" + etc. 
Dem. Pars prior iheorematis inde pa(et, quod valor maxi- 
me plaulibiris ipfius t valoribns u^zro, u' = o, u" = oetc. refpon- 
dere debet. Ad poiteriorem demonltrandam obferuamus, qiio- 
mam ^d Q=:£dx + )idy +^dx+ etc, aique-d* znfdx + gdy 
+ hdz+ etc., elTe, pro £=/, t\ = gt ^=Adc., independenter a 
Taloribus differentialium dx, Ay, dz etc 



1k 



tt^ _ • u _ . u 



duo +=-jdu+'^. d u 4- .etc. - A^ d u° .+ A' ^ u^ 



e 



j'... 



THEORIA COMBIM. 03SERV. ERRORIBUS MlJJtM. OBNOXFAE. 4^5 

HInC|Vero fequitur, pro iisd^oi valoribus ^=/» V^S^ S=h elc^ 
fieri . ^ 

A du' -|- etc. ' , 

lam facile perfpicitur» £i dx, dy, 'dz etc. fint ab ifiuicem Jix^^ 
pendenifs, eiiam du^, du', du' etc/, ab inuicfcm indiependentes 
effe; vnde coUigiiiitts, pro^rr/, fizzg , ^zzh etq. eSe 

UO =%0 A^ , U = SS' A' , //' 3: r' A" .45iC 

Quampbrenpi valor ipfius ^, iisdem vaJoribua refpondeps erit ' 

•= 2(^ A^ A^ +. sa' a;a^ + e" r a" + ^tc. + m. 

vnde pet: art. e^. iheorematis nofiri veritas pFOtinus demaoat. 

Ceterum fi transformationem funclionis t immediate» i. 6; 
absC|ue cogniiione fubftitutionum 1V« drt. ga^ p^r&sfive <ai|Eimus, 
praeito funt formulaci: ^ * "v'. ' ^ 

'f^K°ko ••"■' . ;*- • • , .'. 

etc. , Tnde coefHcientes A°« A', k" etc. deinoeps deter&iia«baotiir* 
tandemqu^ habebitur . . . ' 

1[ =; — i"» Ao — i' A' — i" A" - .etc. 



,•» 



35. 
Tractatione peculiari dignum efl problema feqtiens, tum 
propter ytilitatem practicam , tum projjter foltitionia concinni^ 
tatem.' 

Inuenire mutathnes valorum maxime plaujibilium incognita^ 
rum ab accejpone aequatiohis nouae productas^ nec non pondera 
, nouarum determinatiouum. 

Rctinebimus defiguaftiones in praecedenlibus adhlbitas, ita 
vt aequationes prinjiiiune, ad pondus =1 reduclae, fint hae 



^g CAROL. FRIDERIC. GAUSS 

» =: o , «' = o, v" — o etc. ;■ aggregatiim indeiinituin vv -{■ v v 
-\-v"v" etc. — Cli porro vl ^, jj, ^ etc, iint qiiotienles diff«- 
Teniiales pariiales 

du aq dg • 

B d X ' a dy ' a di 
denigue vt ex eliminatione inde&nita' fequfltur 

y=B + f«(3]£+ [^3]»i + [3y]^-l- etc- [ (I) 

z =C +[rty]£+ t^y] „ + [vy]^+ etc. .1 
lam ftippODnmus, aceedere nequationem nouam t)*z=o (proxime 
'Teram, et cuius pondua = t), et inguiramus, quantia niutationea 
hiDC nacturi fint tum valotes incognitarum maxime plaufibiles 
At B, C etc. , tum coefficipntea [cia.},-[a^] etc 
Siatuamu* ii + v*y* — £2*, 

dii* .„ da* , dn* . 

rupponamusque , hioc per eliminationem fequi 

x = ^* + [««*]£* + [(t^*]*l' + [ay*]^* «t«. 

Deniqne fi« 

«* =/x + gy + /ix + etc. + ft 

prodeat inde, (ubftiiutia pro x, y, ^ etc. Tslorlbu* ex (I), 
»* = F£ + G ^ + H^ + etc. + K 

ftataaturque Ff+Gg + Hh + etc. = u. 

Manifelto £ erit valor maxime plaufibilia functionis t)*, qna- 

tenna ex aequationibus primitiuis fequitur, fine terpectu valoris o 

quem obfetaatio accelToria praebnit, atque — pondus irtius de- 
Urminationis. 

lam habemus 

e=i+/ti«, i,'=,+gi>', ^=f+(.t.*wo. 

Adeoqne 



f 






THEORIA COMBIN. OBSERV. ERRORIBUS MINIM. OBNOXIAE. 47 

F^* + G »f* + H^* + etc. +K=zv*(i + F/-f Gg+ Hh-\- etc.) 
* P^' + ^^* + ^^^* + etc 4- JiC 

fiue «* = ~r+ « • . 

Perjnde fit 

x = ^ + [rtct]£*+ [ct/3]^^+[rtyJ^*+elc. -t)*(/[rta] 
+ g:[a3]+'»[£tv]+ctc.) 

= ^ + [etaja* + [c*3]iI*+[^y]^*+eta-.Fi>* 

= ^ + [«^]r +1^33*1* + [^y3^+«tc---7^(^e* 

Hinc itaque colliginius 

FK 
A^^zzA — , qui erit valor maxime plaulibilis ipfius 

I +0; 

» ex omnihus obreruationibus; 

FF 

[tf a*]==[cec«J ; — 

adeogue pondns iltius determinationis 

1 

= JY 

[«^J-7+1: 

Prorfus eodem modo inueDitur yalor maxime. plaufibilis ipfius y, 
omnibM obferuationibus ruperltructus 

GK 

i+ (O 

aique pdndus huius determinationis 

'1 



[^3]- 



GG 



1+ 60 

$t fic pprro. (?. E. /. 

Liceat huic.rolu>iom ^sdam jmnOtaiion^» adiiMist^' 

I. Subfiitutis his nouis valoribns A* ^ B^^ C* etc», functio 
V* obtinet valorem maxime. plaufibilem 



,„ ■■ ■. CAROL. rRlDEBlC. GAUSS- 

4o ' ■ 

K . K 

K - Yx^ ( F/ + ff S + H '• + «"=• ) = -^^- Et quum 

iudefiaite fit 

F C H , K 

»*=:^-^'+.-7+^"^+H-S'^*+""-+.T+^ 

pondiia Mtius delfiiiiiinaiiDnis pet principia art. 39. eraitur 

' + " - = - + .. 

~ Ff^Og-^- llh + etc. w ' 
Badem immediale refuUant ex appUcatlone regulae in fine nrt ai. 
tradil.^e) fcilicet coniplexus aequationum primitiuantm praebuerat^ 

deteraiinationcm w* = A cum pondere =— , dein obferuatio no- 

vadedit determinationehialiani, ab illa independentem, t)* = o, cum 

■ ■ * ^ 
pondere = » * quibus combinatis prodit determmalio u* = ~7~r 

cunv pondere = — ■+- •• 

II. Hinc porro fequitnr, qmim pro x = ^*, y = B*, i = C*«ic. 
effe debeat ^*:^", )i* = o, ^*=o elc, pro iisdem valoribus fieri 
fK gK - hK 

nec non, q.ioriain inaefinile D.-^{x - A) + ti(y — B) +g 
(I — C) + elc. +M, 

n^^fji (F/+«fi +."''+ "'•' + '"=* + (f^' 
d«niqoe, quoniani indefinite ii« = ii + !>*»*, 

OjHK KK ,. , KK 

"• = «^ + rTFiT» + cT+Io5 = ^" + T+i; 

III. Comparando haec cum iis quae in «rt. 30. dscuimus, 
animaduntimus, fuBCtionftri ii hie v^Iorem minimDm obtioete, 

K , ■ 

' quem pio valore determinato funciionis »*= 73;" accipere potelt. 



THEDHIA COMBIN, ODSERV. EgBORIBUS 

I 3«. 

Problemflds alius» praecedenti alHnis, puta 

Inutfligare mutationes valorutn .tnaxime ptaujibilium incognU 
tarutn, a rnutato ponderi vmiis ex ohjeruattonibus primitiuis^oriun- 
das, nec non pondera nouarum deterrninationum 
foluttotiem tantiimmodo hic adfcribemus , demonftr.-itioiieii) 
quae ad inftar -art; praec; facile abfoiuitur, breuitatis cauDa fup- 
primentes. 

Supponamus, peracto deivum catculo animaduerli, alicui 
«bferuationtun pondua feu oiinis paruum, feu niniis niagnum' 
tributum effe, e, g. obfernationi primae, quae dedit t^=zL, loco 
ponderis p in calculo adhibiti rectius tribui ponduis z=.p*. Tuno 
kaud opuserit cslculum integrum repetere^ fed commodiiu cpr- 
rectiones per formulas feqnentes corapmare ))cebit. 

Valores incogniiarum maxime plaufibiles correcti erunt hij 



K=B- 



V-k-iv^^—V^i C«« + fe|3-+tfy + etc.) 

(.P* — P)SX , 

P + (P*—p)(ort + 63 + cy + €tc.) 
(p*-p)7\ 



P+iP" -p)C«t^ + ''3 + cy+ eic.) 
«tc. ponderaque harum determiiintionum inucnientur, diuidendo 
vnitatem refp. per 

r 1 (p*— p)tftt" ^ • 

P+Cp* — P)(aa + if3 + tfy + etc;) 

rs33 _ (p1szp2§1 

fyvl (P!. -p) yy ■ 

^-^^\ P + ( P* — P ) ( « « + fcjS + <: y + etc. ) 
Haec folutio fimul ccmpleciitur cariim, vbi peraclo calciilo ner- 
cipitur, vnam ex oWeruationibus omnino reiici deboifle, qiiiim 
hoc idem fit ac fi facias p^zzo; ct periode valor p* ~ n refer- 

G 



r' I 



( "^ . 



^ 






TV 



50 



CAROL. FRIDERIC. GAUSS 



/ «• 



tur ad cafuin cum, vbi aequatio V—L, quae in calculo tam» 
quam approxlinata tractata erat, reuera praet;ifione abfoluu 
gaudet. * 

Ceterum quoties vel aequationibus, qutbus calculus fuper? 
ftructua erat, plures xiouae accedunt^ vel pluribus ex illis pon* 
dera erronea tributa effe percipitur, computus correctiorum ni- 
niis complicatus euaderet; quocirca in tali cafu calculum ab ia* 
tegro reiicere praeftabit» 

In art. 15,16^ methodum explicauimus, obferuationum pra©t 
cifionem proxime determinandi *). Sed haec methoans fuppoilit^ 
errores, qui reuera occurrerint, fatis nrultos exacte cognitos 
«ffe» quae cpnditio, ftricte loquendo» rariffime^- ne dicam num- 
quam» locum habebit» Quodii quidem quantiiatee, quarum va* 
Ipres approximati per obCeruationes innotuerunt^ feciindum le- 

gem cognitam, ab vna pluribusue quantitatibus incognitjs pen* 
dent, harum valores maxime plaufibiles per methodum quadra* 
torum minimorum eruere licebit ^ ac deip valores quantitatum^ - 
quae obferuationum o,biecta fuerant, illiivc computati perparum 
a valoribus veris difcrepare cenfebunturi it^ vt ipforum differen» 
tias a valotibus obferuatis eo maiori iure tamquam obferuatio* 
num errores veros adoptare Iiceat| quo maior fuerit harum muL 
titudo. Hanc praxin fequuti funt omnes calcuiatores, qui obfer» 
vationum praeciiionem in cafibus^ concretis a poiieriori aeftimare 
fufceperunt: fed manifefto illa tbeoretice erronea eit^ et quam- 
>quam in caiibus^ multis ad vfus practicos fuiHcere ppllit, tamen 



*} DiaquiTitio de eodem argumento, quam in commentatione anteriou 
{Zeitfchri/t fiir ^fironamie^ und verwandte^ pfiQetifciiajten VoK I, 
p» 18 5O tradideramuSy eidem hjpothefi circa indolem functionit 

^ probabilitatem enrornm exprimentis innixa erat» cui in Theoria mo* 
tua corporam coeleftium meihodam qoadratorum XDinimorum fuper<» 
liraxeramus (vid» STt.9» ill.).. 






• * ■■« 



THEOWA COMBIN. OBSERV. ERRQRIBUS MlNItt. OBNOXIAE. 5J 

in aliis enormiter peccare poteft.. ^Sunimopere itaque hoc argu* 
mentum dignum elt^ quod accuratius enodetuf» 

Retinebimus in hac dlsquilitione defi^Bationes^^ inde ab 
artrig. adhibita?. Praxia ea de qiia. diximus^ quantitates j4^ fi» 
C etc» tamquam valores^. vero* ipfarum 95, y, x confiderat| et pro- 
inr ipfas A.^ A.'v X'' etc tamquam^ valores tveros functionum v^ 
v\ t)"ctc. Si opin^ obferuqitionea aequali praecilione. gaudenty^ 
ipfarumque pondua p^ p' == p^ etc. pro vniiate acceptum efi, cae-. 
dem quantiiatesy lignis mutatis^' in illa fuppplitione obferuatio* 
num errores exhibent^ vnde praecepta art. 15^ praebent obferua- 
tionuiQ errorem medlum n> , 

_^ W -h A.'V + X'' y. + etc. ■ -. jfcf - . 

* 

Si obferuaironum praecilio noti eft eadem, quantitates -^Xf — V, 
— X'^ etc. e»Iiibereni: obferuationum errores per tadi^^es ,quadra- 
tas. e ponderibus multiplicatoi ^ praeceptaque/art»i6. ad eandem 

farmulam V — perducerent, iam errorem medium talium obfer-' 

vationum, quibus pondus =: i tribuitur, denotantem. Sed ma- 
nif^fto calculus ca^actus i-eqi^ir^ret^ vt loco quantjtatum \, X.^ 
>J' et.c. valore^.|unctionum.,ti,.:i>r, v" etc. e valoribus veri^.ipfa- 
, rum 3c, y, 2 etc. prodeuntes adhiberentur^ i, e. loc6 ipfius M va- 
lor functioni» i,"! valoribus Veris iplarum x, y, z etc. refpondens. 
Qur quaniquam iaflignari' nequeat, taraen certi fumus, eom- elTe 
maiqrem quam Hi (quippe qui eft minimu» poffibilis) excipiendo 
cafum irifinite parum probabilem, vbi incogoitarnm valores* 
maxime plaufibile» exacte cum veris q^uadrant. In !genere itaque 
aflirmare poflumu», praxin vulgarem errorem medium iufio m£- 
jkorem producere, fiue obferuationib.is praecifionem ninii» nia- 
giiam tribuer& ViJeamu» iam , ^uid doceat tLeoria rigorofa. 

-G a 



52 , CAROL. FRJDERIC, GAVSS ■ 

38- 
Antc omnla inueftigare oporlet, quonam moao m ab obfer- 
vaiionum erroribus veris pendeat. Denotemus hos, vt in art. «g 
per e, e, e" etc, ftatuamusque ad maiorem fimplicitatem ' 

eVp^e, eVp'=:e', e'Vp"=V"eic., nec non 

mVp^: m V p' zunyTp" etc. =yLc ' 

Porro fint valores veri ipfarum x, y, z etc^refp. -rf a:», B y* 

e — x^ eic, quibus refpond«ant vaiores ipfarum ^, ^, ^ «lc hi 
— ^"t — 1°. — ^" «'c. Manifefto lisdem rofpondebunt vah>re» 
, ipfarum V, v, v" elc. hi — e, -- e\ — e" etc. iu vt habeatui 

£o = o e + a' e +■ n" e" + etc 

»|0 = fc « -|- fe' e' + 6" e" + etc ' ' ■ ~ ' 

i^z=cs +'^fi' +c"r +-etc. ; 
«tc nec non ' . 

x* = rt£ + a'e' + a"/' + etc 

y« = ^e + |3' fi' + 0"e" + etc ■ 

»' = ye + y'e' + '/"e" + etc. - ■ 

Denique ftatuemus 

tl°=ee + «'«' + «"«■" + etc. 
iia vt fit fl'" aeqiialls valori- functlonis Q. valoribus veris ipfa- 
rum X, y, z ttc refpoodenti. Hinc quum habeatur indelinite 
a-M+(cc^;4)^-f(y^B)7,^Cz — C)i-^eic., erit etiara 

iW=ii*— x°£«— y°)j° — x°^ — etc 
Hinc manifeftum eft; M, euoluiione factji effe functipnem ho-" 
geneam fecundi ordinis errorum e, e, e" etc, qu9e, pro diuerfis 
errorum valoribjis maioc .mlnorue . euadere poterit. Se_d qiiate- 
nus errorum magnitudo nobis incognita manet, functiosem hanc 
inderinite con{idcrare , imprhuisque fecuudum principia calculi 
probabilit^tis eius valorem medium aflignare conueniet. Quem 
iaueniemus, fi Joco qiindratorum ee, e'e', e"e" etc refp, fcri- 
bimus mm, nim, in^m" etc, producta vero ,ee', ee", e' e etc. 



THEOR[A COMBIN. OBSERV. ERRORIBUS MINJM. OBNOXIAE. 53 

ommno omittimns, vel 'qood idem elt, B. loco cuiusuis qua<3rati 
«£, /«', e' e" etC. fcribinius ju/^, producils ee.fie" «'«" ttc. proi'- 
fus neglectis. Hoc modo e teraiino Q.° mamfefto pronenit 7rju/.( ; 
teroiinus — x" £•' producet 

— (o ff + «'«' + o" a" + etc. ) (jfi= — fdfi 
et nmiliter nngulae partes reliquae pravbebunt — fip(, itn Tt v4> 
Joi medius totalis fiat = («■ — g)fx/j, denotante «■ multittii^inem' 
obferuationum, p muliitudinem incognitarum, Valor verus quidem 
ipGus lH, -^Ont fors errores'obtuliE, niaior niinorue medio fieri 
poteit , fed difcrepantia eo minoris momenti erit , quo maior 
,luerit> obferuatjonmm mulcitudo, ita vt pro valore aj^roxiniato 
ipfias ^ .«e^pere lieeM"' ' ' 

. . ^^_:- ■■ . 

,-.--, , «— g 
Valori itague ipfius f^, ex praxi erronea, de qua in arL pratf*. 
loquuti fuoius, prodiens, augeri debet in tatione quantitam 

Quo clarins eluceat, quanto iure vaforem fonuitum ipfius 

M thedio aequiparare liceat, adhuc inueJtigare oportet errorem 

,. ■ , , « * ^ 
laiedtai9 iqetuendumr dum ftatuimus =' m m Ifte error 

, . " . . - '^~? 

medius aeqoalis eff radici quadratae e valoie raedlo quantitaiis 
r n^ — g«g°— y*^^ — a"^ — etc. — (ff — p),„i„ va 
V it~§ ' ) 

^nam ita exhibebimus - ' .. 



(^ 



- ^7 C^^.-ix^i» - y» ,» ^: ,« j^ _ «c. _ (rf«p)^ ;..) - ^ 

«t qmim manifefto valor medius termini fecimdi "fiat -o, res in 
«o Tertiwr, yt iniJagemn»!»alotem medium functioiii» . 



lAHOL. FRIDERIC. .e*USS:- 

^x" J» — y°j|'' !- aoi" — e(c )" 

per N d.-iiguato, error.we^us i^tetita* ^rit , 

_iL 4^ ' - ■ -^' 

ip* euoluta niabifeito «ft fanctitx hoiiLOgenea 
,e,e"eic., Tiue quaDtitatum «, c', e"«tc., «ius- ' 
U9 inueni«tur, Ci 
uadratia ^*» «'*, «"* «tc. XublU^vuntat eo^n;^ 

igulis productis « Hnia iquadrati» Tt, *.«i«'..«', 
'' etc. producta ex ipfonunl.Taloiibus ume^a, 

, m m m" m", rlt m m" m" etc ' 

vero Teliquae, qane- implica^bunt ffel factorem ' 
L talcm eee'e', omnino . «mittuntur. Valores 

itoriim e*,'e'*, e"* etc. ipfia biquadratis m*, 
proportionales fupponemus ("vld. «n.. *C->, »*■» 

haec vt v* ad /.t*, adeoque y* deootet -valorem 
ratorum obferuationum talium vquarum ponJus 
Bcepta praecedentia ita quoque «sprimi poierunt: 
Q biquadratftrum c*, e'*, e"* etc. fcribendum erit 
,orum productomm « binis ^uailralis vt' see'?', 

etc. , fcribendum erit fi^ , omnesque reliqui ter- 
licabunt iactores lale» .vt ^' «', vel eeee", vel 
upprimendi. 

intellecti» facilc patebk 

1 medium quadrati il^Xl^-effe rt f* + ('f*— w) /** 
medius ptoducti eEx''^* fit z= a a. P* r^ (.a a 

1-^*, .fiue qnoniam.aa 4- "'«'+""''''+ «tc. — i. 
^*-f.*y+^* . , . , , " - 

inde valor mediu» .prpducti t « x°,4'* hat =r 



THEORIA COMBIN. OBSERV. ERRORIBUS HINIM. OE 

a' a (v* — A''*)^"^*» T*'or luedius producti e" i 
~ a" a" Cv* — f^* ) + M* «' ^^° porro, patet, valorem 
aacti (efi+ffi +«"«" + ««•) ^"^" ^"e a°xo£' 

= v* — ju* +i'A'* 
Eundem valorera medium habcbiint productn il^y 
etc. Quapropter valor medius producti Q,° (» 
^xo^ _|_ etc.) fit 

= ?»** + ?(*— Om* 

III, Ne euolutiones reliqiiae nimis prolixjie eui 
Jenotaiio iutroducenda erit. Vtemuriingue rharacte 
aliquantum latiori quam ftipra pnflim factiim efi, ii 
aggregatum tcrmini, eui praefixa eft, cum omnibus 
non identicis inde per omnes obrerumionum permuii 
dis. Hoc pacto e. g. habemus x° =: 2 ce «. x** a 
+ a2(«rt'£e'- Colligendo itaque valorem mcdi 
nP-aA^^'^ par. partaa, habemus primo valorem med 

= aactav* -^ ttaiaa^ a"o" -^ etc.') ft* 

zzaaaa(y* — /**) + a a//* 2«a • 
Perinde valor medius producti aa'e'e^°^^ fit = a'o', 
+ a'a'fA*'^aa et iic. por/o, adeoque valor med 
|°£«SaaE£ 

=ziv* — fA*)^aaaa + fA*Xaa .Xaa 
Porro valor medius prodiicli aa'EE'^°£'^ fit = aaa'o-a'/ji*, va- 
lor medius producii a a" e e" ^° ^°- periflde =: 8« a" ao"^* etc, 
Tode facUe concludilur,- valorem medium producti ^^^"^aa' es 
iieri 

= fl;^*2aoa'a' = /!*'' ((Soa)' — Siaaa) = ;i*(i — Sanaa) 
His cotteclis habcmu^ valorem Oiedium producli x^x^A^j^^ 

= (»* — g;x*)2ooaa+fl/,(*+/i*2flfl.2a«. 
H 



. FRIDERie. GAUSS 

modo. itiuenitur valor niediiis productt 

''Saab'0 + /i^Subu 0' + f,-<^aSb' K ' 

243— 2ani3 
.,Sa3 — 2;<.6«3 
.Xbu—XaBbx 
t, ptopter 2nn=l, 2*3 = 1, 2a3 = o, 

•hci.0+ fc'(i+-Zab.-ZaB) 
eodem modo Talor medius productt 

l«ay + ;a«(i + 2ac.2«y) 

em medium produclix^^^Cx^^^ + y^ji" 

it 

oaf "« + tj3 + cy + eii! ) ) -Kj, -)-,)^. 
',{tu +2fli».2«3 + '2^ac.'^ay + fitc.) 

oit(<.a + ii3f cy+elc.)) + fj+ ii)|u* 

modo valor meilius prqducti y°)i°(x°?® 

b$(act + b$+c-y+eK.)) + (g + ,)i^. 
ucli J°^°Cx°S° +Jt''!;° + i<>f» -|-e,c.) 

cyCoo+t^ + cy+elcJ) +(f + a)^« 

^et iic porro. Hinc per «dditionem prodit va\or medius quadrali 
(x°5° + y°l,° +i°^° + etc.)» 

= (»* -3f<*.2((oa + i.3 + cy + slrf)") + (j,p-f.sj)j„»- 

yil. Omnibus tandem rite colttctis eruitur 

JV = (« ag)p* + (TTTr— TT — 8irf + <IJ> + pf )/i* +• 

(.r^ — llAf, Siiaa + b^+cy+ac)') 



m. 



THEOalA COMBm. OBSERV. E 

Error itaque medius in 

_. M 
^'^^ «■ — e 
metnendus erit 

^^{'"^'-^-/V^TiT-fp-SUatt + M + ^V + e^OM)} 

X ' . . - 

\ 40* , 

Quamitss SfC^ce+i/S +«y+ etc.)»), quae in expreffio- 

nem niodo inUBntatn ingreditur, generaliter quidem ad forraam 

fimp1t<:iorem rediici neqiiit : nihiloniinits duo limites aflignari 

- poITunt, inter quos iplius valor necefT^irio lacere.debet. Printo 

fcilict;! e rolftiiohibus (upra uuoIuEis facile denionrtratur efle 

(«a + 1>S + cy + eit;.)» -}- iact± fc^' -]- cy'+ etc.)» + (aa" 
-{■b$' + cy" -^-etc.)^ + etc. =, oa + 63 + ^y + etc 
vnde concludinius, a a -^ bj^ -\- cy -\- etc. efTe quantitatem po- 
fitiuam vniute minoreni (faliem non maiorem). Idem valet de 
quantiiaie a'a + b' (5' + c'y' +■ etc., quippe cui aggregattim 

{aa + b'3-^c''/ -f- etc.)* -j- (o'a' + i'3' + c'y' + etc.)* 
+ ("'«" + 6' /3" + c' y" etc.)o. + eic. 
flequale inucnitur; ac perinde o"a" 4- i^^/S" + c"y" -)- etc. vni- 
tate minor eiit, et fic porro. Hinc SCCna +b$ + cy + etc.)") 
necefTario eft minor quam tt. &cu/ido habetur 2 ( « « -|- t 
-f-cy + etc. ) = j, quoniam fit 2aa=:i. 2^3=1, Scy^i etc ,• 
vnde facile deducilur, funiniam quitdratorum 2((oa + fc3 

+ cy + etc. )') .effe maiorem quam — , vel fallem non mino- 
rem. Hino terminas ^ 



vel. 



- -RROR. MINIM. OBKOX. 

neceffario iacel inler limitea ~ ^^ ^^ ^ 3 ^^ p 

"-f ir-f ■ w 

fi Utiores praeferimus , inter hos — ** '^^— g^ . y^ — 3^ ^ 
pioin erroris medii in vriore ipfius^;U=^— meluendi ,08- 
dralum .aler l.maes -^~ et -£_, i^ ^t pr.ecifionem 

quamamuis alTe^ui liceit, fi n.odo oWeruationum muIlUuao fue- 
rit Xatis magna. 

Valde nicmornbile .efl, in hypothefi ea C«tt 9,111.), cui 
Iheoria quadralorutn niinimorum olin. ruperflructa tuerat, mon. 
torminum om..ino excidere, et ficuti, ad erueodum valoiem 
approiimatum «rroris medii obferuationum /,, in omnihus cafi- 
hna aggregalum ^\ + VX' +A"\" + elc. =iK iui uat*.,, „,,„.. 
tet, ac fi effet aggregatum rf - p errorum fortuitorum, ita in illa 
hypothefi efiam praecifionem ipfam huius determinationis aequa- 
le.n ficri ei, quam determinalioni e.c tt — p erroribus Teris tri- 
buendain eOe 'in art. ifi. inuenimus. 



fc 



L 



1,